수내고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

수내고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

수내고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식과 부등식의 기본 계산을 좌표평면의 거리와 도형 관계에 연결하는 시험입니다.

도형 문항에서는 어떤 공식을 쓸지 고르는 단계가 중요합니다. 접한다는 조건은 중심과 직선 사이의 거리로, 같은 거리에 있는 점은 수직이등분선으로, 지름이 주어진 원은 중점과 반지름으로 바꿀 수 있습니다. 그림에 표시된 관계를 식으로 바꾸기 전에 말로 정리해 보세요.

자동 분류 기준 보통 문항이 시험의 중심을 이루며, 객관식 후반에서 실근 개수와 여러 도형의 관계를 종합합니다. 서술·단답형에서는 새로운 발상보다 기본 개념을 논리적으로 설명하는 것이 중요합니다. 어려운 계산에만 집중하지 말고 조건을 근거와 함께 쓰는 연습도 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 마지막에 모인 어려움 문항

쉬움 문항은 초반에만 있지 않습니다. 9번의 수직 조건, 19번의 지름으로 정하는 원, 20번의 내분점도 기본형입니다. 반면 4번에서는 해가 한 쌍이라는 조건을 중근으로 바꾸어야 합니다. 번호가 앞에 있다고 계산 문제로만 판단하지 말고 묻는 조건부터 확인하세요.

보통 구간에서는 절댓값의 구간 분류, 정수해의 개수, 도형의 넓이, 접선과 거리 등 서로 다른 접근법이 이어집니다. 공식을 알고 있어도 적용 순서가 늦어지면 시간이 쌓일 수 있습니다. 특히 10~15번에서는 중심과 반지름, 무게중심, 수직이등분선처럼 필요한 정보를 먼저 추리는 연습이 효과적입니다.

16~18번은 자동 분류 기준 어려움 문항입니다. 사차방정식의 서로 다른 실근을 세거나, 현과 접선의 관계를 연결하거나, 원과 포물선의 교점을 대수적으로 해석합니다. 이 분류를 실제 응시자의 체감 난도로 단정할 수는 없지만, 풀이에 필요한 연결 단계가 많다는 점은 대비할 필요가 있습니다.

출제 단원 — 원의방정식과 부등식의 비중

원의방정식은 단순히 중심과 반지름을 찾는 유형에 그치지 않습니다. 6번의 접선 조건, 10번의 넓이 최소, 11번의 축에 접하는 원, 14번의 접선과 다른 원의 위치 관계로 확장됩니다. 완전제곱으로 표준형을 만드는 계산과 점과 직선 사이의 거리를 함께 익혀야 합니다.

여러가지부등식은 해의 공통부분을 찾는 기본형에서 절댓값, 정수해 개수, 넓이 조건까지 다룹니다. 12번처럼 도형을 식으로 만드는 문항에서도 부등식의 해를 구한 뒤 길이의 양수 조건을 적용해야 합니다. 수직선에 범위를 표시하는 습관이 끝점과 교집합의 실수를 줄여 줍니다.

여러가지방정식의 16번과 원의방정식의 18번은 단원 사이의 연결을 보여 줍니다. 인수분해와 근과 계수의 관계는 방정식 문제뿐 아니라 도형의 교점 분석에도 쓰입니다. 평면좌표의 기본 공식부터 직선의 거리, 원의 접선으로 순서를 잡아 복습하면 개념이 이어집니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수보다 달라진 단원 중심

작년과 올해는 모두 수학(상) 자료입니다. 총 문항은 21문항에서 20문항으로 줄고 서술·단답형은 1문항에서 2문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같으므로, 전체 문항 수가 줄었다는 이유만으로 시험이 쉬워졌다고 판단하기는 어렵습니다.

작년에는 평면좌표가 5문항으로 가장 많았고 올해는 원의방정식이 7문항으로 중심입니다. 여러가지부등식은 4문항에서 5문항으로 늘었으며 평면좌표는 5문항에서 2문항으로 줄었습니다. 작년 분류에는 이차함수가 있지만 올해에는 원의방정식이 등장하므로, 단원 구성이 달라졌다는 점을 먼저 고려하세요.

작년의 어려움 문항은 15·18·20번에 있었고 올해는 16~18번에 연속해서 놓여 있습니다. 올해의 서술·단답형 19·20번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 다음 시험을 준비할 때는 원과 직선의 관계를 충분히 연습하면서도, 객관식 마지막에서 멈추지 않고 전체를 살펴보는 운영을 익히세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 앞에서 얻은 정보를 다음 조건에 재사용한다는 것입니다. 계산을 길게 이어 쓰기보다 고정된 근, 중심까지의 거리, 교점의 합과 곱처럼 중간 결과의 의미를 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 전체 문항을 훑어 바로 시작할 수 있는 기본형을 확보하세요. 16~18번을 모두 해결한 뒤에야 19·20번을 보려 하면 쉬움으로 분류된 서술·단답형을 쓸 시간이 부족해질 수 있습니다. 풀이가 멈추면 필요한 조건만 메모하고 이동한 뒤 다시 돌아오는 연습을 권합니다.

중간 구간에서는 식을 세우기 전에 조건을 표시하세요. 8번은 마지막 정수의 포함과 다음 정수의 제외, 11번은 중심의 사분면과 반지름의 양수 조건, 13번은 거리의 절댓값에서 나오는 후보가 중요합니다. 14번에서는 접선을 구하는 단계와 다른 원까지의 거리를 구하는 단계를 나누어 계산하세요.

마지막 검토에서는 답을 다시 계산하기보다 누락된 조건을 확인하세요. 16번은 서로 다른 실근의 중복, 17번은 접점 좌표의 범위, 18번은 지름과 중점의 관계를 살피세요. 19·20번은 사용한 공식만 적지 말고 중심을 중점으로 정한 이유와 내분점이 축 위에 있다는 근거를 문장으로 남기세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리와 내분점 공식을 먼저 복습하세요. 정수 조건과 축 위의 점이라는 조건을 좌표로 표현하고, 비의 순서를 설명하는 연습을 하세요(2·20번 대비).
2. 부등식은 수직선에서 교집합과 끝점을 확인하세요. 절댓값의 구간 분류와 정수해 개수로 확장한 뒤 도형의 넓이를 부등식으로 바꾸세요(3·5·7·8·12번 대비).
3. 직선의 수직 조건과 점과 직선 사이의 거리를 묶어 연습하세요. 무게중심과 수직이등분선에서 필요한 관계를 먼저 찾으세요(9·13·15번 대비).
4. 원의 표준형, 지름의 중점, 축에 접하는 조건을 정리하세요. 넓이의 최솟값과 반지름들의 제곱합을 구분해 접근하세요(10·11·19번 대비).
5. 접선과 현을 거리 조건으로 통일해 보세요. 중심에서 내린 수선과 현의 중점 성질을 그려 보고, 다른 원이 추가되어도 필요한 거리를 구별하세요(6·14·17번 대비).
6. 인수분해와 근과 계수의 관계를 종합하세요. 해의 존재, 중근, 공통근을 따로 검사한 뒤 좌표 도형의 교점 문제로 연결하세요(1·4·16·18번 대비).