영파여자고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

영파여자고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

영파여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 여러가지방정식, 이차함수입니다. 다항식 연산을 바탕으로 근의 성질과 함수의 그래프까지 연결하는 구성입니다.

초반에는 근과 계수의 관계, 나머지정리, 다항식의 사칙연산처럼 출발 개념이 분명한 문제가 배치되어 있습니다. 중반부터는 삼각형 조건을 인수분해로 읽거나 복소수 명제의 반례를 찾는 등 같은 개념을 다른 표현으로 옮기는 판단이 필요합니다.

후반은 풀이 단계를 연결하는 능력이 중요합니다. 사차방정식을 치환한 뒤 원래 근의 성질을 되짚고, 제한된 구간의 최댓값과 최솟값으로 새로운 함수를 만듭니다. 서술·단답형에서는 계산 결과에 앞서 그 식을 택한 근거를 짧게 정리하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본형을 확보하고 후반 조건 해석에 대비

자동 분류 기준 쉬움은 1~6번에 이어집니다. 공식을 바로 적용할 수 있는 구간이지만, 켤레근을 쓰기 위한 실수 계수 조건과 서로 다른 교점을 뜻하는 판별식의 부등호를 놓치지 않아야 합니다. 빠르게 푸는 연습과 조건을 확인하는 습관을 함께 갖추세요.

보통은 7~15번과 18번입니다. 근 사이의 관계를 한 변수로 나타내거나 수치 대입으로 계수 합을 분리하는 등 풀이 방향을 고르는 부담이 있습니다. 특히 조립제법과 큰 수의 곱을 다루는 문제에서는 무작정 계산하면 분류보다 오래 걸릴 수 있습니다.

어려움인 16·17·19번은 치환 이후의 근 판정, 매개변수를 포함한 최적화, 도형과 다항식의 연결을 요구합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 후반 문항을 모두 같은 난도로 보지 말고 18번의 기본 관계부터 확인하세요.

출제 단원 — 다항식의 구조를 여러 개념에 연결

다항식은 연산, 곱셈 공식, 인수분해, 조립제법에서 도형 응용까지 폭이 넓습니다. 6·14번은 식을 묶어 계산량을 줄이는 문제이고, 8번은 인수분해 결과에 길이의 양수 조건을 적용합니다. 같은 단원이라도 전개만 반복해서는 대비가 충분하지 않습니다.

이차방정식에서는 1·4·7번을 통해 근과 계수의 관계를 여러 상황에 적용합니다. 여러가지방정식의 13번에서도 허근이 만족하는 이차식과 근의 합·곱을 활용합니다. 단원 이름을 따로 암기하기보다 근을 직접 구하지 않고 필요한 식을 정리하는 공통 방법으로 묶어 보세요.

이차함수는 교점의 개수, 제한된 구간의 최대·최소, 교점 좌표와 삼각형의 넓이로 연결됩니다. 항등식의 수치 대입과 복소수의 실수부·허수부 비교도 빠뜨릴 수 없습니다. 다항식에 학습 시간을 더 두되 그래프 조건과 복소수 명제를 별도로 복습하는 구성이 적절합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 다항식 비중과 후반 어려움의 증가

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 총 문항은 20문항에서 19문항으로 줄고 서술·단답형은 3문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 보통은 10문항으로 같지만, 쉬움은 9문항에서 6문항으로 줄고 어려움은 1문항에서 3문항으로 늘었습니다. 문항 수 감소만으로 풀이 부담이 낮아졌다고 보기 어렵습니다.

작년에는 복소수가 5문항으로 가장 많았고 올해는 다항식이 6문항으로 가장 많습니다. 다항식은 작년 4문항에서 늘었고 복소수는 올해 2문항입니다. 이차함수는 4문항에서 3문항, 이차방정식은 2문항에서 3문항으로 바뀌었으며, 여러가지방정식과 항등식은 각각 3문항과 2문항으로 같습니다.

작년 어려움은 이차방정식 14번이었으나 올해는 여러가지방정식 16번, 이차함수 17번, 다항식 19번입니다. 서술·단답형의 어려움까지 대비할 필요가 있습니다. 이 변화가 다음 시험에서도 유지된다고 예측하기보다, 다항식 구조 파악과 근의 성질, 구간의 최대·최소를 연결해 학습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정한 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 얻은 뒤 그 식이 원래 조건을 어떻게 반영하는지 설명해야 합니다. 치환값과 원래 근, 매개변수와 구간, 다항식의 항과 도형의 부분을 짝지어 적는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본형을 정확하게 처리하고, 중반에서 식의 구조가 보이지 않으면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하세요. 14번의 큰 수 계산이나 15번의 전체 전개에 매달리면 후반 시간이 줄어들기 쉽습니다. 연습할 때 계산을 시작하기 전 치환과 수치 대입의 가능성을 먼저 살펴보세요.

16번에서 풀이가 막히면 서술·단답형도 훑어보세요. 18번은 자동 분류 기준 보통이며 근과 계수의 관계로 출발할 수 있습니다. 17번은 축과 끝점을 비교한 이유를, 18번은 넓이를 좌표로 바꾼 이유를 먼저 적으면 계산 중에도 풀이 방향을 유지하기 좋습니다.

마지막 검토는 조건이 바뀌는 곳에 집중하세요. 7번은 매개변수의 양수 조건, 9번은 경우의 누락, 12번은 실제 몫의 보정이 핵심입니다. 16번은 나누는 식과 최고차항 조건을, 17번은 매개변수 범위를, 18번은 교점 좌표의 부호와 넓이의 양수 처리를 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 사칙연산과 곱셈 공식을 먼저 정리하세요. 같은 식을 직접 전개한 풀이와 합·곱으로 묶은 풀이로 비교해 계산량을 줄이세요(3·6·14번 대비).
2. 나머지정리와 조립제법을 연결해 복습하세요. 빠진 차수의 자리를 유지하고 나누는 식의 최고차항 계수를 확인하는 연습을 하세요(2·12·15번 대비).
3. 근과 계수의 관계를 기본형부터 확장하세요. 켤레근, 근 사이의 제곱 관계, 허근이 만족하는 식을 구분해 정리하세요(1·4·7·13번 대비).
4. 치환과 경우 분류를 연습하세요. 공통부분으로 차수를 낮춘 뒤 원래 변수의 해와 조건으로 돌아오는 과정을 생략하지 마세요(9·16번 대비).
5. 복소수는 계산과 명제 판단을 함께 다루세요. 실수부·허수부 비교로 등식을 풀고, 항상 성립한다는 주장에는 반례도 찾아보세요(10·11번 대비).
6. 이차함수는 간단한 스케치로 시작하세요. 교점 조건, 축과 구간의 관계, 좌표와 넓이의 대응을 근거와 함께 써 보세요(5·17·18번 대비).
7. 도형 조건을 다항식으로 옮기는 유형을 마무리로 연습하세요. 변의 양수 조건과 부피 분할을 식에 반영한 뒤 도형으로 되돌려 설명하세요(8·19번 대비).