영파여자고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

영파여고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

영파여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 여러가지부등식입니다. 중점과 직선의 기본형부터 접선, 도형의 넓이, 매개변수가 포함된 부등식까지 연결됩니다.

좌표 문항은 공식을 기억하는 데서 끝나지 않습니다. 6번은 좌표 관계를 외분으로 읽어야 하고, 10번은 수직이등분선의 교점을 같은 거리에 있는 점으로 해석해야 합니다. 16번도 원 위의 점을 직접 움직이며 계산하기보다 밑변이 고정된 삼각형의 높이에 주목하면 구조가 단순해집니다.

서술·단답형에서는 부등식의 구간 분류, 원의 중심이 놓이는 자취, 직선과 넓이비의 연결을 설명해야 합니다. 객관식에서 얻은 계산 능력을 근거가 드러나는 풀이로 확장해 보세요. 식을 세운 이유와 후보를 선택하거나 제외한 이유가 이어지도록 작성하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 연결

자동 분류 기준 쉬움에 해당하는 1~5번은 중점, 축에 평행한 직선, 연립일차부등식, 원의 접선과 축에 접하는 원을 다룹니다. 기본 개념을 정확히 적용하면 접근할 수 있지만, 좌표의 부호와 접하는 축을 혼동하면 출발식부터 달라집니다. 초반에는 속도와 함께 조건 확인을 습관화하세요.

보통 구간은 6~14번과 16·17번입니다. 거리 제곱의 합을 최적화하거나 직선의 위치 관계를 경우별로 나누는 등 풀이 방향을 선택해야 합니다. 특히 14번은 매개변수의 부호에 따라 근의 순서가 바뀌므로, 보통이라는 분류만 보고 짧은 계산 문제로 예상하지 않는 편이 좋습니다.

어려움은 15번에서 나타난 뒤 18·19번으로 이어집니다. 15번에 시간이 오래 걸리면 16번의 넓이 최댓값과 17번의 부등식 풀이를 먼저 확인하세요. 난이도는 자동 분류 기준이며 개인의 체감과 다를 수 있으므로, 실제 연습에서는 첫 접근에 걸리는 시간과 계산 시간을 구분해 기록하면 도움이 됩니다.

출제 단원 — 원의방정식과 평면좌표의 비중

원의방정식은 접점이 주어진 접선에서 시작해 축에 접하는 원, 원과 직선의 위치 관계, 외부에서 그은 접선, 넓이 최댓값, 평행선에 동시에 접하는 원으로 확장됩니다. 중심과 반지름을 먼저 표시한 뒤 접선은 거리의 같음으로, 만나지 않는 조건은 거리의 대소로 바꾸는 연습이 효과적입니다.

평면좌표에서는 내분·외분과 거리의 활용이 이어집니다. 7번의 거리 제곱의 합과 10번의 같은 거리 조건은 대수식으로 정리할 수 있지만, 15번은 외분점의 위치를 그림에 옮기고 닮음을 이용해 높이비를 연결해야 합니다. 좌표를 설정할지 도형의 비를 사용할지 판단하는 경험을 쌓으세요.

직선의방정식은 고정점을 지나는 직선의 기울기 범위와 삼각형 성립 조건을 다루며, 19번에서는 수직 관계와 거리까지 연결됩니다. 여러가지부등식은 모두 자동 분류 기준 쉬움 또는 보통이지만, 8·14·17번에서 공통 범위와 경계 처리가 반복됩니다. 단원 이름보다 조건을 표현하는 방식에 주목해 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항의 위치와 서술형 구성

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 4문항에서 올해 3문항으로 줄었고 보통 문항 수는 같습니다. 다만 서술·단답형이 2문항에서 3문항으로 늘었으므로, 어려움 문항 수 감소만으로 전체 풀이 부담이 줄었다고 판단하기는 어렵습니다.

원의방정식은 작년 5문항에서 올해 6문항, 평면좌표는 4문항에서 5문항, 직선의방정식은 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 여러가지부등식은 5문항에서 4문항으로 줄었습니다. 작년에는 이차방정식과 이차함수도 단원 분류에 포함되어 있었으며, 올해는 좌표와 직선·원 관련 단원의 비중에 주목할 만합니다.

작년 어려움 문항은 객관식 12·14·15·16번에 있었지만 올해는 15번과 서술·단답형 18·19번입니다. 다음 시험을 준비할 때는 객관식 후반의 계산뿐 아니라 도형 조건을 글과 식으로 설명하는 연습을 함께 하세요. 기본형을 익힌 뒤 원의 중심 조건과 직선의 거리 관계를 연결하는 풀이를 직접 써 보는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류와 해설의 조건 연결 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 도형의 위치를 먼저 확정해야 계산이 의미를 갖습니다. 풀이를 복습할 때는 계산식만 베끼기보다 그 식을 세우게 한 위치 관계를 옆에 짧게 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본형을 정확하게 처리하고 중반 문항의 접근 방향을 확인하세요. 13·14번에서 경우 분류가 길어지거나 15번의 도형 해석이 막히면 표시하고 넘어가세요. 뒤의 16·17번은 자동 분류 기준 보통이므로, 앞 문제를 마칠 때까지 후반 전체를 미루지 않는 운영이 좋습니다.

서술·단답형을 위한 시간은 식의 출발 근거와 검토에 나누어 사용하세요. 17번은 구간별 부호와 공통 범위를 보여 주고, 18번은 반지름과 중심의 자취를 정한 이유를 적으세요. 19번은 교점, 수직 관계, 넓이비를 순서대로 정리하면 앞 단계에서 구한 정보를 다시 찾는 시간을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 5번의 양수 조건, 8번의 길이 대소와 끝점, 9번의 만나지 않는 조건을 확인하세요. 13번은 공점 조건의 누락, 14·17번은 구간 경계, 18번은 가능한 원의 누락을 점검하세요. 19번에서는 매개변수의 부호와 후보 점의 함수 위 위치를 확인한 뒤 거리식을 검산하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 중점과 축에 평행한 직선, 기본 연립부등식을 복습하세요. 좌표 부호와 끝점 표시를 짧게 점검하는 습관부터 만드세요(1·2·3번 대비).
2. 내분·외분의 좌표식을 그림과 연결하세요. 외분점의 방향을 먼저 정하고 길이비에서 넓이비로 확장하세요(6·15번 대비).
3. 거리 제곱의 식을 정리하는 연습을 하세요. 완전제곱식으로 최솟값을 구하는 방법과 등거리 조건으로 좌표를 정하는 방법을 구별하세요(7·10번 대비).
4. 원의 중심과 반지름을 표시한 뒤 접선과 위치 관계를 거리로 표현하세요. 고정된 밑변의 높이 최댓값과 중심의 자취로 확장하세요(4·5·9·12·16·18번 대비).
5. 직선의 고정점, 기울기 범위, 평행과 공점을 함께 정리하세요. 넓이비를 밑변비로 바꾸는 근거도 설명해 보세요(11·13·19번 대비).
6. 부등식은 조건별 해집합을 수직선에 따로 그린 뒤 겹치세요. 매개변수의 부호와 절댓값의 구간 분류를 서술형 풀이로 완성하세요(8·14·17번 대비).