영파여자고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

영파여자고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

영파여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 절대부등식, 순열조합입니다. 함수의 정의와 점근선을 확인하는 기본형부터 조건이 결합된 그래프와 도형 문항까지 포함됩니다.

함수 영역에서는 식을 대입하는 능력과 대응 관계를 읽는 능력을 함께 요구합니다. 역함숫값은 원래 함수의 입력을 찾는 문제로 바꾸고, 일대일대응은 함숫값의 중복 여부와 공역 전체를 채우는지를 모두 확인해야 합니다. 구간 끝점의 포함 여부도 풀이의 일부입니다.

경우의 수는 순열과 조합의 공식을 고르는 데서 끝나지 않습니다. 자리의 제한, 대진표에서 같은 것으로 보는 배치, 직각삼각형의 도형 조건을 먼저 해석해야 합니다. 부등식 역시 계산 결과보다 식을 어떤 형태로 정리하고 등호 조건을 어떻게 확인하는지가 중요합니다.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 후반 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반의 1~7번에 이어 11·19번에도 있습니다. 함수의 뜻, 점근선, 식의 대소 비교, 무리식 계산처럼 기본 개념을 정확하게 적용하는 구간입니다. 쉬움으로 분류되어도 6번의 숫자 사용 조건과 7번의 구간 검증은 생략하지 마세요.

보통 문항은 8~10번과 12~17번, 서술·단답형 20·21번입니다. 조합의 항등식을 팩토리얼로 정리하거나 그래프에서 계수의 부호를 추론하는 등 표현을 바꾸는 과정이 필요합니다. 16·17·21번은 부등식을 활용하지만 출발점이 각각 대수식, 좌표와 넓이, 닮음으로 다릅니다.

자동 분류 기준 어려움인 18번은 구간에 따라 다른 함수식을 적용하고 허용되는 실근을 세는 문항입니다. 다만 서술·단답형 전체가 이 수준으로 이어지지는 않습니다. 18번에서 오래 머물기보다 뒤의 19번을 먼저 확인하는 식으로 풀이 순서를 조정할 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합 중심에 함수와 부등식의 연결

순열조합은 6·8·9·11·12·20번입니다. 계산 공식의 적용, 사전식 배열의 순서, 자리 제한, 같은 대진의 중복 제거, 도형의 여사건까지 서로 다른 판단이 이어집니다. 많이 출제된 단원이므로 공식을 외운 뒤 각 문제에서 무엇을 서로 다른 경우로 세는지 설명하는 연습이 필요합니다.

절대부등식은 3·4번의 성립 여부 판단에서 16·21번의 최적화로 확장됩니다. 두 식의 차, 완전제곱식, 산술평균과 기하평균의 관계를 상황에 맞게 골라야 합니다. 특히 부등식으로 얻은 경계가 실제 최댓값이나 최솟값이 되려면 등호 조건이 원래 범위 안에서 가능해야 합니다.

무리함수 단원에는 5번의 무리식 계산도 포함되어 있습니다. 15번은 무리함수 그래프에서 얻은 부호 정보를 유리함수로 옮기고, 18번은 구간별 실근을, 19번은 제한된 구간의 최대·최소를 다룹니다. 유리함수로 분류된 17번에도 부등식이 쓰이므로 단원 이름과 풀이 도구를 함께 정리하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 증가와 절대부등식의 등장

작년과 올해 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 19문항에서 21문항으로 늘었지만 서술·단답형은 각각 3문항입니다. 자동 분류 기준 어려움은 각각 1문항이고, 쉬움은 6문항에서 9문항으로 늘고 보통은 12문항에서 11문항으로 줄었습니다. 어려움의 개수가 늘어난 구성은 아닙니다.

순열조합은 작년 7문항에서 올해 6문항으로 줄었지만 여전히 가장 많습니다. 합성함수와역함수는 6문항에서 3문항으로 줄고, 무리함수는 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 올해는 절대부등식 4문항이 포함되므로 작년의 단원 배분만 보고 학습 시간을 정하지 마세요.

자동 분류 기준 어려움은 작년 14번에서 올해 18번으로 위치가 바뀌었으며 두 문항 모두 무리함수 단원입니다. 이 분류만으로 세부 유형이 같다고 볼 수는 없습니다. 다음 시험 대비에는 무리함수의 정의역과 교점 검사를 유지하면서, 올해 확인된 부등식의 등호 조건과 도형 변환까지 준비하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 해설에서 확인되는 조건 처리와 표현 전환을 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 자동 분류 기준으로는 18번만 어려움이고 14·21번은 보통입니다. 공통적으로 계산 뒤 원래 조건으로 돌아오는 검증이 필요하므로, 조건을 먼저 기록하는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형과 접근 가능한 서술·단답형을 먼저 확보하세요. 18번의 실근 개수 분류에서 진전이 없으면 표시해 두고 19번의 증가·감소 판단부터 확인할 수 있습니다. 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 계획보다 연습 때 문항별 체류 시간을 기록해 조정하세요.

경우의 수에서는 계산 전에 무엇을 구별하는지 적으세요. 6번은 제공된 해설에서도 숫자 반복 사용 여부의 해석을 주의점으로 다루므로 실제 문제의 조건을 확인해야 합니다. 9번은 기준 문자열의 포함 여부, 12번은 같은 대진의 중복, 20번은 제외할 직각삼각형의 조건이 검토 지점입니다.

마지막에는 답을 다시 계산하기보다 조건을 대조하세요. 7·18번은 구간, 14번은 치역의 끝점, 17번은 절댓값과 그래프의 가지가 중요합니다. 19~21번은 감소의 근거, 제외한 경우의 도형적 이유, 등호가 가능한 위치를 풀이에 남겨 서술의 연결을 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 뜻과 점근선부터 복습하세요. 입력과 함숫값, 공역을 구별하고 그래프의 기준선을 설명해 보세요(1·2번 대비).
2. 경우의 수의 합·곱 법칙과 순열·조합을 정리하세요. 자리 제한과 접두사 묶음을 먼저 표시한 뒤 계산하세요(6·8·9·11번 대비).
3. 중복을 제거하는 기준과 여사건을 연습하세요. 같은 대진을 어떻게 판단하는지, 직각삼각형을 어떤 조건으로 세는지 말로 설명하세요(12·20번 대비).
4. 역함수와 일대일대응을 입력·출력 표와 구간별 치역으로 나타내세요. 합성 순서를 구분하고 열린 끝점을 표시하세요(7·10·13·14번 대비).
5. 무리식 정리에서 그래프 해석으로 확장하세요. 계수의 부호, 증가·감소, 치환 후의 허용 범위를 차례로 점검하세요(5·15·18·19번 대비).
6. 부등식의 성립 근거와 등호 조건을 함께 쓰세요. 두 식의 차와 완전제곱식에서 시작해 거리·닮음으로 만든 최적화 문제에 적용하세요(3·4·16·17·21번 대비).