한가람고등학교
2024년 1학년 1학기 중간고사

한가람고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

한가람고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 회차의 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 여러가지방정식, 이차함수, 여러가지부등식입니다. 다항식의 기본 연산에서 출발해 방정식과 그래프의 관계까지 이어지는 구성입니다.

초반에는 곱셈공식과 나머지정리, 항등식의 계수 비교를 확인합니다. 이후에는 켤레근, 공통부분 치환, 나머지의 재구성처럼 알고 있는 성질을 상황에 맞게 선택해야 합니다. 공식 자체를 기억하는 것과 어떤 형태로 바꿔 적용할지 판단하는 것을 함께 연습해야 합니다.

서술·단답형은 14~18번과 20·21번이며, 그 사이에 객관식 19번이 들어 있습니다. 문항 번호만 보고 뒤쪽을 모두 같은 형식으로 생각하면 풀이 순서가 꼬일 수 있습니다. 보통으로 분류된 서술형에서도 치환 범위나 나머지 차수, 판별식 조건을 먼저 적는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 보통 중심, 후반 이차함수에 어려움 집중

쉬움은 1·2·3·5번입니다. 다항식 공식 변형과 나머지정리, 계수 비교, 대입으로 정리하는 연립방정식이 해당합니다. 다만 5번은 해가 한 쌍이라는 조건을 중근과 연결해야 하므로, 분류가 쉬움이어도 의미를 읽는 과정까지 생략해서는 안 됩니다.

보통 문항은 시험 전반에 걸쳐 있습니다. 11번의 제곱근과 절댓값, 13번의 치환 후 최대·최소, 16번의 나머지 구성처럼 첫 판단을 잘못하면 계산을 오래 해도 해결되지 않는 유형을 주의하세요. 보통이라는 표시는 풀이 시간이 모두 비슷하다는 뜻이 아닙니다.

어려움은 18·19·21번에 집중됩니다. 접한다는 말을 중근으로 바꾸거나, 함수 조건을 정리한 뒤 실근이 없는 상황을 판단하거나, 축의 위치에 따라 최대·최소를 나눠야 합니다. 후반의 부담은 복잡한 전개보다 조건을 정리하고 검산하는 데서 생깁니다.

출제 단원 — 항등식과 이차함수가 공동 최다

항등식은 기본 나머지정리부터 이차식으로 나누는 조건, 근을 이용한 다항식 구성, 서로 다른 나머지 조건의 결합까지 이어집니다. 2·3번을 계산할 수 있는 데서 그치지 말고, 10·12·16번처럼 다항식의 형태를 직접 세울 수 있는지 확인하세요.

이차함수는 출제 비중과 고난도 대비의 중요성이 함께 큽니다. 8번에서는 교점을 방정식의 근으로, 13번에서는 치환한 식을 새로운 함수로 해석합니다. 이 관점이 후반의 접선 조건과 두 그래프의 위치 관계, 제한된 범위의 최대·최소로 확장됩니다.

이차방정식과 여러가지방정식에서는 판별식과 근과 계수의 관계가 반복됩니다. 단원별로 따로 외우기보다 해의 개수, 켤레근, 인수분해를 연결해 정리하세요. 여러가지부등식의 17번도 그래프가 직선 위에 있다는 조건을 판별식으로 바꾸므로 같은 도구를 공유합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 감소, 이차함수 비중은 확대

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 총 문항은 23문항에서 21문항으로 줄었고 서술·단답형은 7문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 4문항에서 3문항으로 줄었지만, 쉬움도 8문항에서 4문항으로 줄고 보통이 11문항에서 14문항으로 늘었습니다. 어려움의 감소만으로 시험 전체가 수월해졌다고 판단하기는 어렵습니다.

작년에는 이차방정식이 5문항으로 가장 많았습니다. 올해는 항등식이 2문항에서 5문항으로, 이차함수가 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 여러가지부등식은 4문항에서 1문항으로 줄었습니다. 준비할 때는 나머지 조건을 구성하는 연습과 그래프를 이용한 해석에 더 비중을 둘 근거가 있습니다.

작년 어려움은 13·16·21·23번에 있었고 올해는 18·19·21번에 모였습니다. 작년의 고난도 단원도 함께 보면 항등식·여러가지부등식·이차함수·이차방정식에 걸쳐 있었으나, 올해는 이차함수에 집중됩니다. 다음 대비에서는 후반 함수 문제를 연달아 풀어도 경우 구분과 범위 검토를 유지하는 훈련이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 그래프 정보를 식으로 옮긴 뒤 조건을 검증하는 구조입니다. 풀이를 시작하기 전에 접점, 축, 구간의 끝점을 간단히 표시하세요. 식을 세우는 이유가 보이면 불필요한 전개를 줄일 수 있고, 답안 검토에서도 빠진 조건을 찾아내기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·3·5번처럼 기본 원리가 바로 보이는 문제부터 안정적으로 처리하세요. 중간 구간에서 식이 길어지면 계속 전개하기 전에 치환이나 나머지 관계를 쓸 수 있는지 돌아보는 편이 좋습니다. 10·13번에서 진전이 없으면 표시한 뒤 다른 보통 문항을 먼저 확보하세요.

14번부터는 서술·단답형이 이어지므로 계산 시간과 조건을 적을 시간을 함께 남겨야 합니다. 18·19번에서 막혀도 보통 문항인 20번을 확인할 기회를 확보하세요. 실제 제한 시간에 맞춘 연습에서는 마지막 검토 구간을 미리 남기고, 고난도 한 문제에 머문 시간이 다른 문항의 미완성으로 이어지는지 살펴보세요.

검토할 조건은 유형별로 묶어 두면 좋습니다. 5번은 매개변수의 양수 조건, 11번은 분모와 근호의 성립 범위, 14번은 복소수 범위, 17번은 접하는 경우의 허용 여부입니다. 20번은 경계에서의 중근과 자연수 범위, 21번은 각 경우의 범위를 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 공식 변형과 기본 나머지정리부터 정확히 처리하세요. 대입값과 부호를 확인하고 불필요한 전개를 줄이는 연습입니다(1·2·3번 대비).
2. 판별식과 근과 계수의 관계를 조건 문장과 연결하세요. 해의 개수와 중근 조건을 식으로 바꾸는 과정을 말로 설명해 보세요(4·5·7·20번 대비).
3. 켤레근과 음의 제곱근을 구별해 정리하세요. 실수 계수 조건과 근호의 성립 범위를 확인하는 연습을 함께 하세요(6·8·9·11·15번 대비).
4. 나누어떨어짐과 나머지 조건에서 다항식의 형태를 직접 세우세요. 나머지 차수와 최고차항 계수부터 적는 순서가 좋습니다(10·12·16번 대비).
5. 공통부분 치환은 되돌리기와 범위 변환까지 묶어 연습하세요. 인수분해에서는 수의 범위를, 최대·최소에서는 새 변수의 범위를 확인하세요(13·14번 대비).
6. 꼭짓점·접선·수평선의 교점을 그림으로 표현한 뒤 조건식을 세우세요. 마지막에는 구간을 나눈 기준과 후보의 적합성을 검토하세요(17·18·19·21번 대비).