영파여자고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

영파여자고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

영파여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 이차방정식, 이차함수, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 부등식의 해석과 좌표평면에서의 도형 관계를 함께 준비해야 하는 시험입니다.

초반에는 무게중심, 판별식, 지름과 원의 관계, 수직이등분선처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 이후에는 같은 길이를 갖는 조건이나 직선들이 삼각형을 이루지 않는 조건처럼 가능한 경우를 나누어야 합니다. 공식을 기억하는 데서 그치지 않고 그 공식을 사용할 상황을 구별하는 연습이 필요합니다.

도형 문항은 거리와 넓이를 식으로 옮기는 능력이 중요합니다. 특히 점이 포물선이나 원 위를 움직일 때, 삼각형의 넓이를 고정된 밑변과 달라지는 높이로 해석하면 접근이 간결해집니다. 서술·단답형에서도 식을 세운 이유와 조건을 교차한 근거가 드러나도록 정리하세요.

난이도 분포 — 기본형 이후의 조건 검토

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~4번입니다. 좌표 공식과 판별식의 기본 조건을 정확하게 적용하는 구간입니다. 이 구간에서는 계산을 짧게 유지하되, 원의 방정식에 들어가는 반지름의 제곱과 중심 좌표의 부호처럼 자주 생기는 실수를 점검하세요.

보통 문항은 5~11번에 이어 13·17·18·19번에도 있습니다. 절댓값 구간 분류, 도형이 성립하지 않는 예외, 내분점과 외분점의 구별처럼 조건을 놓치면 풀이가 달라지는 문제들입니다. 분류가 보통이어도 19번처럼 여러 좌표 관계를 순서대로 연결해야 하는 문항은 정리에 시간이 필요합니다.

어려움 문항은 12번과 14~16번입니다. 반원의 교점 해석, 매개변수에 따른 부등식의 공통부분, 이차함수에 대한 여러 판단, 넓이의 최대·최소가 이어집니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 원과 부등식의 비중이 같은 구성

원의방정식은 중심과 반지름을 구하는 기본형에서 접선, 반원의 교점, 넓이의 최솟값으로 확장됩니다. 9·12·18번은 중심에서 직선까지의 거리를 사용하지만, 각각 접하는 조건과 교차하는 조건, 만나지 않는 조건을 구별해야 합니다. 같은 거리 공식에 어떤 비교 관계를 붙이는지 설명할 수 있어야 합니다.

여러가지부등식에서는 해의 범위로 계수를 추론하는 5번, 절댓값을 다루는 6번, 항상 성립하는 조건의 11번, 공통해의 존재를 판단하는 14번, 도형에 활용하는 17번이 나옵니다. 부등식을 푸는 기술뿐 아니라 해를 먼저 구해야 하는지, 해가 존재할 조건을 찾아야 하는지 구별하는 연습이 필요합니다.

평면좌표와 직선의방정식은 도형 해석의 바탕입니다. 7·8번에서는 도형이 무너지는 예외를 확인하고, 13·19번에서는 내분과 외분의 위치를 구별합니다. 이차함수 단원의 출제 수만 보고 학습을 줄이지 마세요. 16번에서도 도형의 넓이를 제한된 구간의 이차식으로 바꾸어 최댓값과 최솟값을 비교합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 풀이에서 처리해야 할 조건을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산식만 세워서는 부족하며, 그림이나 수직선에서 허용되는 위치를 확인해야 합니다. 식 옆에 반원의 방향, 매개변수의 부호, 정의역을 적어 두면 풀이의 기준을 유지하기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본형을 정확하게 처리하고, 이후에는 출발점이 보이는 문항부터 이어 가세요. 12번에서 그림의 교점 해석이 길어지면 표시해 두고 13번을 확인하는 방식이 좋습니다. 14~16번에 시간을 모두 쓰기 전에 서술·단답형 17·18번과 마지막 19번의 접근 가능성도 확인하세요.

서술·단답형에는 근거를 정리할 시간을 남기세요. 17번은 삼각형이 존재하는 조건을 먼저 적고 둔각 조건과 결합해야 합니다. 18번은 중심에서 밑변 직선까지의 거리와 반지름을 비교하는 이유를 적은 뒤 최소 높이로 연결하세요. 연습할 때는 식을 떠올리는 시간과 풀이를 기록하는 시간을 함께 재 보세요.

검토에서는 계산 반복보다 제외 조건을 우선 확인하세요. 7번의 일직선 배치, 8번의 평행과 공점, 9번의 직선 일치, 11번의 차수가 낮아지는 경우가 점검 대상입니다. 14번은 부등호의 엄격성, 16번은 정의역, 19번은 내분과 외분의 좌표 대응을 확인하면 조건 누락을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 좌표와 직선의 기본 공식을 복습하세요. 무게중심, 중점, 수직이등분선을 구한 뒤 조건을 역으로 대입해 확인하세요(1·3·4번 대비).
2. 부등식은 해의 모양과 경계부터 읽으세요. 판별식, 계수의 부호, 절댓값의 구간을 먼저 정리하고 정수해의 끝점을 점검하세요(2·5·6번 대비).
3. 도형이 성립하지 않는 예외를 모아 연습하세요. 일직선, 평행, 공점, 직선의 일치를 그림과 식으로 함께 확인하세요(7·8·9번 대비).
4. 매개변수 조건은 경우 분류표와 수직선으로 정리하세요. 최고차항이 사라지는 경우와 근의 순서가 바뀌는 경우를 구별하세요(11·14번 대비).
5. 원의 접선과 교점을 거리로 표현하세요. 원 전체의 조건에 반원의 방향을 추가하는 연습을 하고, 이차함수의 항상 성립하는 성질도 따로 검증하세요(10·12·15번 대비).
6. 도형의 넓이와 성립 조건을 부등식으로 옮기세요. 고정된 밑변, 움직이는 높이, 삼각형의 성립 조건을 말로 설명한 뒤 서술하세요(16·17·18번 대비).
7. 내분점과 외분점은 위치를 먼저 그리고 좌표를 세우세요. 자취에서는 움직이는 점의 변수를 소거한 뒤 주어진 점을 대입하세요(13·19번 대비).