한가람고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

한가람고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

한가람고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 여러가지방정식, 이차함수, 여러가지부등식입니다. 다항식의 연산부터 근의 위치와 부등식의 해석까지 연결됩니다.

초반에는 계수 계산, 곱셈공식, 나머지정리와 복소수 연산을 점검합니다. 이후에는 중근 조건을 항등식으로 바꾸거나, 고차방정식을 치환해 낮은 차수로 정리하는 문항이 나옵니다. 공식을 아는 데서 더 나아가 적용할 형태를 찾아야 합니다.

서술·단답형에서도 절댓값 부등식, 판별식의 합집합, 인수정리와 공식 변형이 이어집니다. 모든 문항을 긴 계산 문제로 받아들이기보다 조건을 식으로 옮기는 단계와 계산 뒤 검토하는 단계를 구분해 준비하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 기본 확인 뒤 객관식과 서술형 후반의 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~7번과 11번입니다. 필요한 차수의 항만 고르기, 켤레복소수로 분모 정리하기처럼 풀이 경로가 비교적 명확합니다. 다만 7번은 이차항의 계수가 사라지는 값을 제외해야 하므로 기본 문제에서도 전제 확인이 필요합니다.

보통 문항에서는 개념의 연결이 늘어납니다. 8번은 중근 조건과 항등식, 15번은 인수분해와 중근의 발생 원인을 함께 봅니다. 서술·단답형의 17~20번과 22번도 보통으로 분류되지만, 구간을 나누거나 변형의 근거를 쓰는 시간이 필요합니다.

어려움인 13·16·21·23번은 서로 다른 사고를 요구합니다. 나눗셈 관계의 치환, 구간 안 실근의 존재, 움직이는 축, 허근의 거듭제곱 조건을 구별해야 합니다. 이 분류만으로 실제 응시자의 체감 난도를 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 이차방정식 중심으로 다항식과 부등식 연결

이차방정식은 6·7·8·18·23번입니다. 켤레근과 근과 계수의 관계에서 시작해 실근·중근 조건을 다루고, 마지막에는 복소수가 실수가 되는 조건까지 연결합니다. 판별식을 계산하는 능력과 그 결과의 의미를 설명하는 능력을 함께 확인하세요.

다항식은 앞부분의 1·2번과 서술·단답형 20·22번으로 나뉩니다. 뒤에서는 같은 함수값을 인수정리로 바꾸거나 복잡한 세제곱식을 공통부분으로 묶어야 합니다. 기본 전개와 구조를 알아보는 인수분해를 따로 연습할 필요가 있습니다.

여러가지부등식은 14·16·17·19번으로, 근의 위치와 절댓값 구간, 연립부등식의 해를 다룹니다. 이차함수 12·21번과 함께 수직선이나 그래프를 활용하면 조건을 정리하기 쉽습니다. 항등식은 문항 수가 적어도 13번처럼 변형을 요구할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 증가와 고난도 문항의 위치 변화

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 총 문항은 20문항에서 23문항으로 늘었고 서술·단답형은 7문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 3문항에서 4문항으로 늘었지만 쉬움도 5문항에서 8문항으로 늘었습니다. 이 변화만으로 시험 전체가 일률적으로 어려워졌다고 판단하기는 어렵습니다.

작년에는 항등식과 여러가지방정식이 각각 4문항으로 가장 많았습니다. 올해는 이차방정식이 5문항으로 가장 많고, 다항식과 여러가지부등식이 각각 4문항입니다. 항등식 문항 수는 줄었지만 올해 13번이 어려움이므로 비중이 작은 단원도 응용까지 준비해야 합니다.

작년 어려움은 16·18·20번으로 서술·단답형에 모여 있었고, 올해는 13·16번 객관식과 21·23번 서술·단답형으로 나뉩니다. 다음 시험을 준비할 때는 앞에서 막힌 문항을 표시하고 뒤의 해결 가능한 문항으로 이동하는 연습을 해 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들을 분석상 고난도 문항으로 고른 이유는 계산 이전과 이후에 확인할 조건이 많기 때문입니다. 풀이를 복습할 때 식의 전개만 따라 쓰지 말고, 경우를 나눈 기준과 후보를 제외한 근거를 짧게 적어 보세요. 13번의 나머지 변형도 별도로 점검하면 좋습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번과 11번의 기본 개념을 정확히 처리하고, 객관식 후반에서 풀이 방향이 잡히지 않으면 표시해 두세요. 13번의 나눗셈 관계나 16번의 경우 구분에 오래 머무르기보다 뒤의 서술·단답형까지 먼저 살펴보는 운영을 권합니다.

17~20번과 22번은 자동 분류 기준 보통 문항입니다. 서술·단답형을 마지막에 한꺼번에 남겨 두면 알고 있는 풀이의 근거를 기록할 시간이 부족해질 수 있습니다. 연습할 때 계산 시간과 구간·조건을 적는 시간을 함께 재고, 본인의 풀이 속도에 맞춰 여유를 확보하세요.

검토할 때는 7번의 이차방정식 성립 조건, 14·16번의 축과 끝점, 18번의 적어도 하나라는 표현, 19번의 등호 포함 여부를 우선 확인하세요. 21번은 경우별 범위, 23번은 허근 조건으로 돌아가야 합니다. 후보를 구한 줄 옆에 확인할 전제를 적어 두면 도움이 됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 전개와 공식 변형을 먼저 정리하세요. 필요한 항의 계수를 고르고 주어진 대칭 관계를 이용하는 연습에서 출발해, 세제곱식의 공통부분을 찾는 연습으로 이어 가세요(1·2·22번 대비).
2. 나머지정리와 인수정리를 연결하세요. 나눗셈을 항등식으로 쓰고 변수를 치환한 뒤, 몫 부분이 새 나누는 식의 배수가 되는지 확인하세요(3·13·20번 대비).
3. 복소수 계산과 켤레근을 복습하세요. 사칙연산 뒤 실수부분과 허수부분을 나누고, 근의 합과 곱으로 거듭제곱 조건을 바꾸는 연습을 하세요(4·5·6·10·23번 대비).
4. 판별식의 의미를 문장으로 설명하세요. 실근, 중근, 적어도 하나의 실근 조건을 구별하고 이차방정식이 성립하는 전제도 확인하세요(7·8·11·18번 대비).
5. 고차방정식은 구조부터 살피세요. 상반형 치환과 공통인수 추출을 익히고, 중근이 생기는 서로 다른 원인을 나누어 정리하세요(9·15번 대비).
6. 그래프와 수직선으로 구간을 표시하세요. 근의 위치, 절댓값의 부호 변화, 연립부등식의 공통부분을 각각 그린 뒤 등호를 점검하세요(14·16·17·19번 대비).
7. 제한된 구간의 최대·최소를 완성하세요. 축의 위치에 따라 끝점과 꼭짓점을 비교하고, 매개변수 후보를 원래 경우의 조건에 대입해 확인하세요(12·21번 대비).