상문고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

상문고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수입니다. 다항식의 사칙연산과 인수분해에서 출발해 나머지정리, 근과 계수의 관계, 제한된 범위의 최대·최소까지 이어집니다.

초반에는 괄호의 부호와 연산 법칙처럼 기본 개념을 확인합니다. 중반부터는 이차방정식의 근이 만족하는 관계를 다른 식에 적용하거나, 대수 조건을 삼각형의 모양으로 해석해야 합니다. 익숙한 공식이라도 사용할 수 있는 조건을 먼저 확인해야 하는 구성입니다.

후반에는 풀이를 시작하는 방식의 선택이 중요합니다. 복소수의 거듭제곱을 모두 계산하거나 항등식을 무작정 전개하면 식이 길어집니다. 반복되는 구조, 다항식의 차수, 구간을 나누는 기준을 먼저 적으면 필요한 계산을 줄이고 서술 과정의 근거도 분명히 할 수 있습니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

쉬움은 1~5번에 모여 있습니다. 사칙연산, 인수정리, 그래프와 축의 접촉, 공통부분 치환, 연산 법칙을 점검하는 구간입니다. 빠르게 풀더라도 부호와 문제에서 요구하는 판단 방향을 확인해야 하며, 계산을 생략하다 실수하지 않도록 한 줄의 정리 과정을 남겨 두세요.

보통 문항은 6~9번, 11번, 15~17번입니다. 실수 계수와 유리수 계수의 차이, 음수의 제곱근, 서로 다른 근의 개수처럼 개념의 경계를 묻습니다. 특히 10번에서 풀이가 길어지더라도 11번과 서술·단답형 앞부분을 살펴볼 필요가 있습니다.

어려움은 객관식의 10·12·13·14번과 서술·단답형의 18·19·20번입니다. 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수는 없습니다. 이 구간에서는 계산을 끝내는 능력에 더해 경우가 빠지지 않았는지, 얻은 후보가 처음 조건에 맞는지 검토하는 능력이 필요합니다.

출제 단원 — 다항식·복소수의 비중과 항등식의 후반 부담

다항식은 기본 연산과 인수분해뿐 아니라 9번의 도형 응용, 14번의 인수 판별까지 폭이 넓습니다. 복소수도 음수의 제곱근 계산에서 실수 조건, 거듭제곱의 반복 관계로 확장됩니다. 문항 수가 많은 두 단원은 계산 숙련과 구조 해석을 나누어 복습하는 편이 좋습니다.

항등식은 2번의 인수정리에서 16번의 수의 나눗셈으로 이어지고, 19·20번에서는 계수 비교와 차수 분석이 필요합니다. 같은 단원이라도 대입할 값을 고르는 문제와 다항식의 형태를 정하는 문제는 출발점이 다릅니다. 문제를 읽고 대입, 계수 비교, 차수 비교 중 무엇을 먼저 할지 설명해 보세요.

이차함수는 3번과 12·13번의 요구 수준 차이를 살펴야 합니다. 축과의 교점을 이해하는 데서 그치지 않고 구간 위의 최대·최소를 조건에 따라 나눌 수 있어야 합니다. 이차방정식의 6·7·11번은 근을 직접 구하기보다 근의 성질과 중복 여부를 활용하는 연습에 적합합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이에서 필요한 조건 처리 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산에 앞서 가능한 형태나 경우를 제한해야 하며, 풀이가 막히면 전개를 늘리기보다 아직 사용하지 않은 범위·차수·계수 조건을 찾아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본형을 정확히 처리하고, 6~9번에서 조건을 읽는 데 필요한 시간을 확보하세요. 10번의 거듭제곱이나 12~14번의 경우 분석이 길어지면 접근한 관계만 표시해 두고 다음 문항을 확인하세요. 객관식을 모두 끝내야 서술·단답형으로 넘어간다고 정하면 후반의 접근 가능한 문항을 놓칠 수 있습니다.

서술·단답형에서는 15~17번의 계산 원칙과 대입 근거를 먼저 분명히 적어 보세요. 18번은 반복되는 거듭제곱과 합의 범위를, 19번은 계수 사이 관계를, 20번은 차수의 근거를 먼저 정리하는 방식이 좋습니다. 연습에서는 풀이의 첫 관계를 찾는 시간과 그 이후 계산 시간을 구분해 기록하면 보완할 부분이 드러납니다.

검토할 때는 6번의 계수 범위, 8·15번의 음수 제곱근과 나눗셈 부호, 11번의 중근을 우선 확인하세요. 13번은 계수를 구한 경우의 범위로 돌아가고, 14번은 중복 인수의 횟수와 자연수 조건을 점검하세요. 17번에서 식으로 나눌 때는 그 식이 사라지지 않는 근거를, 18번에서는 지수의 범위와 끝항을 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 기본 연산과 연산 법칙을 정리하세요. 괄호를 풀 때의 부호와 공통부분 치환을 짧은 식으로 설명하는 연습부터 시작하세요(1·4·5번 대비).
2. 인수정리와 나머지정리를 묶어 복습하세요. 적절한 대입값을 고르는 기본형에서 수의 나눗셈과 반복 인수 판단으로 확장하세요(2·14·16번 대비).
3. 근의 정의로 거듭제곱의 차수를 낮추고 근과 계수의 관계로 합과 곱을 처리하세요. 계수 범위와 중근 여부를 따로 점검하세요(6·7·11번 대비).
4. 복소수는 음수의 제곱근 계산과 켤레복소수의 성질을 먼저 익히세요. 실수가 된다는 조건을 식과 켤레식의 관계로 옮겨 보세요(8·15·17번 대비).
5. 거듭제곱의 반복 관계를 찾고 합을 묶는 연습을 하세요. 일정 간격의 항이 같아지는 경우와 일정한 배수로 바뀌는 경우를 구별하세요(10·18번 대비).
6. 이차함수는 축과 구간을 그린 뒤 끝점과 꼭짓점을 비교하세요. 경우마다 얻은 후보를 해당 범위에 다시 대조하는 과정을 포함하세요(3·12·13번 대비).
7. 인수분해로 도형의 조건을 읽고, 항등식에서는 차수와 최고차항부터 정리하세요. 불필요한 전개를 줄이는 첫 단계를 말로 설명해 보세요(9·19·20번 대비).