서초고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

서초고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

서초고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 명제와 절대부등식, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의를 확인하는 문제와 그래프를 결합해 조건을 추론하는 문제가 함께 있습니다.

함수에서는 식을 계산하기 전에 정의역·공역·치역을 구별해야 합니다. 일대일함수는 함숫값의 중복을 막아야 하고, 일대일대응은 공역 전체를 채우는지도 확인해야 합니다. 이 구별이 초반의 기본형에서 구간별 함수의 조건을 다루는 후반 문제로 이어집니다.

경우의 수에서는 조합의 성질, 토너먼트 대진표, 사전식 배열, 색칠 문제를 다룹니다. 서술·단답형은 대우를 이용한 증명과 함수의 치역, 무리함수의 최대·최소, 조합의 성질을 확인합니다. 개념을 아는 것과 그 근거를 문장으로 쓰는 것을 함께 연습할 시험입니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 집중된 어려움

쉬움은 1·3·9·19·20·22번입니다. 조합의 성질과 함수의 뜻, 유리함수의 대칭성처럼 출발 개념이 분명한 문제들입니다. 서술·단답형에도 쉬움 문항이 있으므로 뒤쪽 번호라는 이유만으로 풀이를 미루지 마세요.

보통은 2·4·5·6·7·8·10·11·12·21번입니다. 산술평균과 기하평균의 등호 조건, 함수의 대응 조건, 대진표의 중복 처리처럼 기본 개념에 추가 점검이 붙습니다. 풀이 방법을 알아도 조건 검사가 빠지면 오류가 생길 수 있습니다.

어려움은 13~18번으로 이어집니다. 색칠의 경우 분류부터 구간별 함수의 치역, 합성함수의 최댓값, 수평선과 그래프의 교점 해석까지 접근 방식이 바뀝니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 이 구간에서는 무작정 계산하기보다 분류 기준이나 그래프 개형을 먼저 잡는 것이 중요합니다.

출제 단원 — 함수의 대응 조건과 순열조합의 비중

함수는 3·4·5·8·15·20번입니다. 함수가 되는 조건부터 치역과 공역의 일치, 일대일대응, 조건을 만족하는 함수의 개수까지 다룹니다. 특히 15번은 각 부분에서 일대일인지만 확인해서는 부족하고 서로 다른 부분의 치역이 겹치는지도 살펴야 합니다.

순열조합은 1·11·12·13·22번입니다. 기호와 성질을 적용하는 문제에서 대진표의 구별, 배열 순서 추적, 인접 영역의 색 제한으로 확장됩니다. 어떤 대상을 구별하는지 먼저 정하면 순열과 조합의 선택이나 중복 제거의 근거가 선명해집니다.

무리함수의 16·18번과 유리함수의 17번은 그래프 해석이 핵심입니다. 근호나 분수식을 곧바로 풀기보다 정의역과 치역, 증가·감소, 극값의 위치를 먼저 정리하세요. 합성함수와역함수의 14번도 구간별 치역을 잇는 구조라서 함수 단원의 기본 조건과 연결됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 함수 비중과 어려움의 위치 변화

작년과 올해는 같은 수학(하) 시험이며 총 22문항입니다. 서술·단답형은 작년 3문항에서 올해 4문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 6문항으로 줄고 쉬움은 5문항에서 6문항으로 늘었지만, 이 수치만으로 실제 체감 난도를 확정할 수는 없습니다.

작년에는 합성함수와역함수가 6문항으로 가장 많았고 올해는 함수가 6문항으로 가장 많습니다. 순열조합은 3문항에서 5문항으로 늘었으며, 무리함수는 5문항에서 4문항, 유리함수는 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 대응 조건과 경우의 수를 충분히 연습하면서 함수 그래프의 기본기도 유지해야 합니다.

작년의 어려움은 14~18번과 21·22번이었고, 올해는 13~18번에 모입니다. 올해 서술·단답형은 모두 쉬움 또는 보통이므로 객관식 후반에서 막힐 때 뒤 문항을 확인하는 운영이 유효합니다. 다음 시험 대비에서는 후반 그래프 문제를 연습하되 기본 개념을 서술하는 연습도 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 바로 풀기 전에 치역이나 그래프 개형을 정해야 합니다. 먼저 조건을 그림과 구간으로 정리한 뒤 필요한 계산에 들어가세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본형과 접근 가능한 서술·단답형을 확보하세요. 13~18번을 순서대로 끝내려다 시간이 길어지면 표시하고 19~22번을 확인하는 편이 좋습니다. 특히 증명이나 치역의 정의를 묻는 문항은 계산량보다 근거를 빠짐없이 쓰는 데 시간을 남겨야 합니다.

구간별 함수는 경계의 포함 여부를 풀이 옆에 표시하세요. 14·15번에서는 치역의 겹침과 빈틈이, 16·18번에서는 극값 높이에서의 교점 수가 중요합니다. 17번은 안쪽 함수의 감소 때문에 변환된 구간의 끝점 순서가 바뀌므로, 원래 구간을 그대로 대입해 최대 위치를 정하지 마세요.

검토할 때는 조건 누락을 중심으로 돌아보세요. 2번은 양수와 등호 조건, 7번은 역함수의 정의역, 11번은 대진표의 중복, 19번은 대우의 방향을 점검하세요. 20번의 치역은 집합으로 정리하고, 21번은 구간 전체에서 함수가 정의되는지, 22번은 자연수와 조합의 범위를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 뜻과 정의역·공역·치역을 먼저 정리하세요. 서로 같은 함수의 조건을 유한집합의 각 원소에서 확인하고 치역을 집합으로 쓰세요(3·20번 대비).
2. 일대일함수와 일대일대응을 구별하세요. 이차함수의 축과 정의역을 그린 뒤 각 부분의 단조성, 전체 치역의 중복을 차례로 검사하세요(4·5·8·15번 대비).
3. 유리함수와 무리함수의 기본 그래프를 복습하세요. 점근선, 시작점, 대칭 중심, 역함수의 정의역과 끝점의 극값을 연결하세요(6·7·9·21번 대비).
4. 합성함수와 역함수는 대응표와 치역으로 접근하세요. 유한집합의 대응 추적에서 구간별 함수의 치역 연결로 확장하세요(10·14번 대비).
5. 경우의 수는 구별 기준과 중복 여부를 말로 설명하며 풀어 보세요. 조합의 성질, 대진표, 사전식 배열, 인접 영역 색칠을 각각 연습하세요(1·11·12·13·22번 대비).
6. 그래프 심화에서는 수평선의 높이와 교점 수, 변환된 구간과 꼭짓점의 위치를 표로 정리하세요. 경계 높이를 별도로 확인하는 습관을 들이세요(16·17·18번 대비).
7. 서술 연습에서는 적용 조건과 결론을 연결하세요. 부등식의 등호 조건과 대우 증명의 가정·결론을 빠뜨리지 않고 적어 보세요(2·19번 대비).