중동고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

중동고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

중동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 평균값정리와 최대·최소에서 시작해 넓이와 운동, 적분으로 정의된 함수까지 연결됩니다.

기본형에서는 정의에 맞게 식을 세우는 정확성이 필요합니다. 평균변화율과 미분계수의 관계, 서로 다른 부정적분 사이의 상수 차이, 위치의 변화량과 이동 거리의 차이를 구별해야 합니다. 익숙한 계산이라도 무엇을 적분하는지 먼저 확인하는 습관이 도움이 됩니다.

심화형에서는 조건을 다른 표현으로 바꾸는 과정이 길어집니다. 미분가능성은 근의 중복으로, 실근의 개수는 수평선과 그래프의 교점으로, 이동 구간의 최솟값은 끝점과 내부 극솟값의 비교로 해석할 수 있습니다. 완성된 식을 외우기보다 그 식을 선택한 이유를 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 2·4·5·6번입니다. 평균값정리, 곡선과 직선 사이의 넓이, 위치·속도·가속도 관계처럼 출발점이 비교적 분명합니다. 이 구간에서 적분의 부호와 출발 시각 조건을 정확히 처리하면 후반 검토 시간을 확보할 수 있습니다.

보통 문항은 단순 대입만으로 묶이지 않습니다. 3번은 부정적분의 개념 판단, 8번은 대칭 구간의 적분, 13번은 거리 차의 최대를 다룹니다. 서술·단답형인 11·12·13·17번도 여기에 속하므로 형식만 보고 풀이 순서를 정하지 마세요.

어려움 문항에서는 9·10번의 적분함수 해석 이후 14~16번과 18~20번의 조건 처리가 이어집니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 같은 구간에서도 요구하는 사고는 다릅니다. 한 문항에서 막히면 다음 문항의 핵심 개념을 확인하고, 풀 수 있는 서술·단답형을 함께 찾는 운영이 좋습니다.

출제 단원 — 미분의 활용과 적분의 활용이 중심

도함수의활용은 부등식이 항상 성립하는 조건, 운동, 부피의 최대, 접선, 합성함수 방정식까지 폭이 넓습니다. 1·11번에서 증가·감소와 최적화를 정리한 뒤, 16번의 실근 구조와 20번의 이동 구간으로 확장해 보세요. 도함수가 사라지는 점을 찾는 데서 끝내지 않는 것이 공통 과제입니다.

정적분의활용에서는 넓이와 운동의 부호 처리가 반복됩니다. 4·7번은 곡선과 직선의 위아래 관계, 6·10·13번은 위치 변화와 이동 거리, 15번은 역함수 대칭을 다룹니다. 19번은 그래프의 실근 개수 조건을 읽은 뒤 넓이와 연결해야 하므로 적분 계산 이전의 분석이 중요합니다.

정적분은 대칭성, 미분과의 관계, 고정된 적분값의 상수 처리, 구간별 적분 관계를 두루 확인합니다. 부정적분은 3번에 분류되어 있지만 적분상수를 구별하는 개념은 12번에도 필요합니다. 단원 표를 공부량의 기준으로 삼되, 서로 연결되는 개념은 함께 복습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 대상을 다시 표현해야 한다는 것입니다. 각각 근의 중복, 구간 적분의 관계, 최솟값 후보를 표나 그림으로 정리한 뒤 필요한 계산만 진행하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 평균값정리와 기본 넓이·운동 문항을 정확히 처리하세요. 9·10번에서 부호표 작성이 길어지면 표시하고, 11·12번이나 접선의 기본 구조가 보이는 17번을 확인하는 편이 좋습니다. 객관식과 서술·단답형이 섞여 있으므로 번호대만 보고 형식이나 난도를 예상하지 마세요.

거리와 넓이에서는 절댓값을 없앨 구간을 먼저 적으세요. 6번의 원점 복귀는 위치 변화량의 조건이고, 10·13번의 이동 거리는 속도의 절댓값을 누적합니다. 15번에서는 역함수의 정의역 제한과 구간별 경계가 중요합니다. 적분식에 들어갈 부호를 확정한 뒤 계산을 시작하면 다시 풀어야 하는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 결과보다 적용 범위를 보세요. 11번은 도형의 길이가 허용되는 범위, 14번은 다른 음수 근의 중복 여부, 17번은 가능한 접선의 누락을 확인합니다. 18번은 주어진 구간 밖으로 함수식을 확장하지 않았는지, 20번은 내부 극소점이 실제 구간에 포함되는지 되짚어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평균값정리와 증가·감소표를 복습하세요. 끝점과 극점을 함께 비교하고 부등식의 모든 입력 조건을 최소·최대 문제로 바꾸세요(1·2·11번 대비).
2. 부정적분의 적분상수와 고정 구간 정적분의 상수 역할을 구분하세요. 대칭 구간에서는 홀수 차수 항을 먼저 살펴 계산량을 줄이세요(3·8·12번 대비).
3. 위치·속도·가속도와 이동 거리를 연결하세요. 부호가 바뀌는 시각으로 구간을 나눈 뒤 위치 변화량과 거리의 차이를 설명해 보세요(5·6·10·13번 대비).
4. 넓이는 교점과 위아래 경계를 먼저 그리는 순서로 연습하세요. 공통 교점을 갖는 이차식의 구조에서 역함수 대칭과 구간별 경계로 확장하세요(4·7·15번 대비).
5. 적분으로 정의된 함수를 미분하고 도함수의 부호를 읽는 연습을 하세요. 절댓값의 미분가능성은 근의 중복과 연결하고, 구간 조건은 겹치는 부분을 소거해 보세요(9·14·18번 대비).
6. 접점의 매개변수, 합성함수의 고정점, 수평선과 그래프의 교점, 이동 구간의 최소 후보를 각각 정리하세요. 식을 세우기 전 스케치로 조건의 의미를 설명해 보세요(16·17·19·20번 대비).