중동고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

중동고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

중동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 속도와 부피의 최대부터 적분으로 정의된 함수의 성질까지 미분·적분의 의미를 여러 상황에 적용합니다.

도함수를 구한 뒤 바로 수치를 대입하는 문제만 있는 것은 아닙니다. 수평선과 곡선의 교점, 절댓값으로 접힌 그래프, 움직이는 구간의 최대·최소처럼 도함수의 부호가 전체 그래프를 어떻게 바꾸는지 해석해야 합니다. 적분에서도 구간의 분할과 함수의 부호가 풀이 방향을 결정합니다.

서술·단답형은 15·16·18·19번이며 자동 분류 기준 쉬움부터 어려움까지 포함합니다. 형식에 대한 부담 때문에 이 부분을 모두 미루기보다 개념이 명확한 문항을 먼저 확인하세요. 해설을 읽을 때도 계산 결과보다 조건을 식과 그래프로 바꾸는 첫 단계를 비교하는 것이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 중반 그래프 해석과 후반 조건 추론

1~4번은 속도, 부정적분의 정의, 적분식의 미분, 롤의 정리를 확인합니다. 15번도 자동 분류 기준 쉬움에 해당하며 극대·극소의 기본 절차를 다룹니다. 이 구간에서는 복잡한 변형보다 용어와 적용 조건을 정확히 쓰는 것이 우선입니다.

보통 구간은 도형의 부피를 함수로 만드는 5번, 적분 구간을 조합하는 6번, 속도 그래프를 읽는 9번 등으로 구성됩니다. 익숙한 공식이 있어도 상황을 수학적 관계로 바꾸는 과정이 필요합니다. 특히 위치 변화량과 이동 거리, 극값과 구간의 최댓값을 혼동하지 마세요.

어려움 구간에서는 여러 조건이 결합됩니다. 11~14번은 함수의 차, 적분 부등식, 이동 구간, 지수의 홀짝처럼 서로 다른 판단 기준을 요구합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 체감과 동일하다고 단정할 수 없습니다. 막힌 문항의 번호에 머무르지 말고 뒤의 기본형까지 확인하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 도함수의활용 중심, 정적분 조건의 결합

도함수의활용은 전체의 중심입니다. 같은 극대·극소라도 7번은 실근 개수, 8번은 절댓값, 11번은 길이의 최대, 13번은 움직이는 구간으로 연결됩니다. 도함수의 영점을 구하는 연습에서 멈추지 말고 부호표를 이용해 원래 함수의 모양과 조건을 설명하는 단계까지 익혀야 합니다.

정적분은 단순한 다항함수 적분보다 등식과 부등식의 해석이 눈에 띕니다. 3번의 기본 미분 관계가 12·20번에서는 함수의 형태와 부호를 제한하는 도구가 됩니다. 정적분의활용에서는 9번의 속도 그래프와 19번의 넓이를 통해 부호 있는 누적량과 기하적 넓이의 차이를 확인합니다.

부정적분은 2번에 출제되지만 적분상수의 의미는 다른 적분 문제를 푸는 기초입니다. 두 부정적분의 차를 상수로 이해하고, 적분식을 미분한 뒤에는 원래 식에 돌아가 상수나 추가 조건을 확인하는 습관을 함께 들이세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 도함수의활용은 유지, 정적분 비중 확대

작년과 올해는 같은 수학II 시험이며 총 문항 수와 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 10문항에서 9문항으로 줄고 쉬움은 2문항에서 5문항으로 늘었습니다. 기본형을 확보할 구간이 넓어졌지만, 이 분포만으로 실제 응시자의 체감 변화를 확정할 수는 없습니다.

도함수의활용은 두 해 모두 12문항입니다. 정적분은 2문항에서 5문항으로 늘었고 정적분의활용은 5문항에서 2문항으로 줄었으며, 부정적분은 1문항으로 같습니다. 따라서 미분 활용을 중심에 두면서 적분 등식 자체를 미분하거나 구간을 조합하는 연습을 보강할 필요가 있습니다.

작년의 어려움 문항에는 15·16번이 포함되었지만 올해 이 위치는 쉬움·보통이며, 올해도 7·8번과 11~14번, 19·20번의 부담은 이어집니다. 번호에 따른 예상으로 공부 범위를 줄이지 말고, 기본형을 빠르게 마친 뒤 그래프와 적분 조건을 함께 해석하는 문제로 확장하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산할 식을 정하기 전에 구간과 경우를 나눠야 합니다. 풀이가 길어졌을 때는 계산을 반복하기보다 아직 쓰지 않은 조건과 경계의 예외를 먼저 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 관계가 바로 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 7·8번에서 경우 분류가 길어지면 표시하고 9·10번으로 이동할 수 있습니다. 11~14번의 풀이가 이어진다고 후반 전체를 미루지 말고 15·16·18번의 접근 가능성도 확인하세요.

서술·단답형은 출발 근거를 짧게 남기는 연습이 좋습니다. 15번은 도함수 부호, 16번은 절댓값 내부 부호, 18번은 도함수가 항상 음이 아닌 조건, 19번은 중근과 대칭성을 먼저 적으세요. 연습 과정에서는 식을 세우는 시간과 적분·대입하는 시간을 나눠 기록하면 지연 원인을 찾기 쉽습니다.

검토에서는 경계와 부호를 우선하세요. 4번은 열린구간 안의 지점인지, 9번은 초기 위치를 더했는지, 13번은 최적값을 주는 지점의 변경을 빠뜨렸는지 확인합니다. 17번은 접하는 경우의 교점 수, 19·20번은 넓이와 정적분의 부호 및 절댓값을 벗긴 근거를 다시 살피세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 위치와 속도, 부정적분의 정의, 롤의 정리부터 복습하세요. 계산 전에 적용할 개념과 조건을 말로 설명해 보세요(1·2·4번 대비).
2. 도함수의 부호표로 극대·극소와 증가 조건을 정리하세요. 도함수의 영점이 곧 극점인지 반드시 확인하세요(7·8·15·18번 대비).
3. 최대·최소는 변수의 범위와 비교 대상을 먼저 적으세요. 도형의 부피와 함수의 차를 다룬 뒤 이동 구간으로 확장하세요(5·11·13·16번 대비).
4. 적분 등식을 미분하고 원래 조건에 다시 대입하는 연습을 하세요. 겹치는 구간의 적분을 더하고 빼는 훈련도 병행하세요(3·6·12번 대비).
5. 속도 그래프의 부호 있는 누적량과 기하적 넓이를 구분하세요. 대칭성을 쓰기 전 대상이 원래 함수인지 도함수인지 확인하세요(9·19번 대비).
6. 접선·극점에서 교점 수가 바뀌는 그림을 그리고 경계의 등호를 따로 검사하세요. 마지막으로 적분 조건과 연속성으로 부호를 복원하는 문제를 풀어 보세요(10·14·17·20번 대비).