휘문고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

휘문고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

휘문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 미분으로 함수의 모양을 알아내는 기본 과정에서 출발해, 그 모양을 이용해 접선의 개수나 넓이, 새로 정의한 함수의 성질을 판단하는 문제로 이어집니다.

대표적인 특징은 원래 함수와 문제에서 새로 만든 함수를 구별해야 한다는 점입니다. 12번에서는 움직이는 구간의 최댓값, 16번에서는 입력값까지의 최솟값이 새 함수가 됩니다. 원래 함수의 도함수를 계산하는 데서 끝내지 말고, 어떤 값이 새 함수의 값으로 선택되는지 설명할 수 있어야 합니다.

서술·단답형이 시험 끝에만 모여 있지 않은 구성도 확인해야 합니다. 11~13번을 지나 객관식 14~17번이 다시 나오고, 마지막에는 18·19번이 배치되어 있습니다. 문제 형식과 필요한 풀이를 함께 확인하면서, 계산이 가능한 문항과 그래프 분석에 시간이 필요한 문항을 나누어 접근하세요.

난이도 분포 — 후반 그래프 해석에 이어지는 어려움

쉬움으로 분류된 1·5번은 평균변화율과 순간변화율, 위치와 속도·가속도의 관계를 확인합니다. 보통인 2·3·6·18번은 극값을 이용해 계수를 정하는 흐름이므로, 도함수의 영점과 부호 변화를 정확히 정리하는 습관이 기본이 됩니다.

7·8번에서 어려움 문항이 등장하지만 9번은 보통입니다. 10번 이후에도 11번, 18·19번처럼 기본 관계를 정리하면 접근할 수 있는 문항이 있으므로 앞 문제에 막혔다는 이유로 뒤를 확인하지 않는 운영은 피하세요. 특히 14~17번의 연속 구간에서는 계산보다 정의를 읽어 내는 단계가 중요합니다.

난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 다만 어려움 문항에서는 구간, 교점의 개수, 미분가능성 등 판단 대상을 바꾸는 과정이 반복됩니다. 연습할 때도 계산 시간뿐 아니라 첫 그림과 경우 분류를 만드는 데 걸린 시간을 살펴보세요.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 적분까지 연결

도함수의활용은 극값으로 계수를 구하는 기본형과 조건으로 정의한 함수를 해석하는 응용형을 함께 포함합니다. 3·6·18번으로 극대·극소 판단을 정리한 뒤, 10번의 접선 개수와 14~17번의 그래프 조건으로 확장하는 순서가 적절합니다. 미분식을 만드는 연습과 그 식의 뜻을 설명하는 연습을 함께 하세요.

정적분의 4·11·19번은 정적분이 들어간 등식을 어떻게 처리하는지가 핵심입니다. 적분 끝에 변수가 있는지, 양 끝이 상수인지 먼저 구분하면 미분할지 상수로 치환할지 판단할 수 있습니다. 부정적분의 2번 역시 함수를 복원한 뒤 극값 조건을 이용하므로 적분과 미분을 따로 외우는 방식으로는 흐름을 놓치기 쉽습니다.

정적분의활용인 8·12·13번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 역함수의 대칭, 이동 구간의 최댓값, 구간별 넓이의 합처럼 적분식을 세우기 전의 해석이 다릅니다. 넓이 공식을 대입하기 전에 경계를 정하고, 같은 적분 구간에서 어느 그래프가 위에 놓이는지 확인하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 풀이에서 필요한 조건 해석을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 새 함수의 정의를 원래 그래프 위의 선택 규칙으로 읽는다는 것입니다. 먼저 선택되는 점이나 값을 표시하고, 선택 규칙이 바뀌는 경계에서 연속성과 미분가능성을 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1·5번과 함께 계수 결정이나 적분 관계의 출발점이 바로 보이는 문제를 확보하세요. 7·8번에서 그래프 정리가 길어지면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 14~17번을 모두 마친 뒤 18·19번을 보겠다는 계획보다, 전체를 훑고 접근 가능한 서술·단답형까지 먼저 처리하는 연습을 권합니다.

12·13번은 계산을 길게 쓰기 전에 구간 구분과 넓이의 경계를 짧게 기록하세요. 12번은 최댓값을 주는 위치, 13번은 곡선과 직선의 교점이 출발점입니다. 막힌 문제로 돌아왔을 때도 처음부터 다시 해석하지 않도록 그림과 미완성 조건식을 남겨 두세요. 시험 시간이 명시되어 있지 않으므로 연습에서는 자신의 풀이 기록을 바탕으로 재검토 시간을 확보하는 방식이 적절합니다.

마지막 검토에서는 수치 계산보다 조건 누락을 우선 확인하세요. 7·9번은 나눈 구간의 범위와 경계, 10·15번은 서로 다른 점을 세는 과정의 중복이 중요합니다. 16·17번은 원래 함수와 새 함수의 미분가능성을 구별해야 합니다. 19번에서는 적분 방향을, 5번에서는 물리적 시각의 범위와 부호를 다시 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분의 기본 의미부터 점검하세요. 평균변화율과 접선의 기울기를 연결하고, 위치를 미분해 속도와 가속도를 구할 때 단위와 부호를 함께 적으세요(1·5번 대비).
2. 극값을 이용한 계수 결정을 묶어 연습하세요. 도함수의 영점, 부호 변화, 극값 대입 순서를 고정하고 원래 함수와 곱으로 만든 함수를 구분하세요(2·3·6·18번 대비).
3. 구간별 함수의 증가·감소를 조사하세요. 각 식의 도함수를 구한 뒤 허용 구간에 남는 후보만 고르고, 경계의 좌우 변화도 이어서 살피세요(7·9번 대비).
4. 정적분 등식은 적분 끝의 형태로 분류하세요. 변수 끝을 가진 적분은 대입과 미분으로, 상수 끝을 가진 적분은 상수 치환으로 시작하는 연습을 하세요(4·11·19번 대비).
5. 넓이 문제에서는 적분 전 그림을 완성하세요. 역함수 대칭, 이동 구간의 최대, 반복되는 구간의 넓이를 각각 경계 설정과 연결하세요(8·12·13번 대비).
6. 접선과 수평선의 교점 개수를 높이별 표로 정리하세요. 극값 높이에 닿는 경우와 통과하는 경우를 따로 쓰고 중복된 점을 제거하세요(10·14·15번 대비).
7. 새 함수의 정의를 말로 설명한 뒤 그래프로 옮기세요. 최솟값의 갱신과 절댓값의 미분가능성을 각각 구간별로 판단하고, 경계에서 조건을 다시 확인하세요(16·17번 대비).