풍문고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

풍문고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

풍문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 단원은 도함수의활용, 정적분의활용, 정적분, 부정적분, 함수의연속입니다. 극대·극소와 최대·최소, 속도와 거리, 넓이, 적분으로 정의된 함수가 주요 학습 대상입니다.

앞부분에는 극값 조건으로 계수를 정하거나 위치를 미분해 속도를 비교하는 기본형이 나옵니다. 이후에는 도함수의 중근, 수평선과 곡선의 교점, 열린구간에서 최댓값의 존재 여부처럼 계산 결과의 의미를 따지는 문항으로 이어집니다. 식을 구한 뒤 그래프와 조건으로 돌아오는 과정이 중요합니다.

서술·단답형은 마지막에만 모여 있지 않고 13번에도 배치되어 있습니다. 자동 분류 기준 쉬움인 17번과 보통인 18·19번도 있으므로, 객관식을 모두 해결한 뒤 서술·단답형을 시작하는 방식은 재고할 필요가 있습니다. 전체를 훑으며 바로 접근할 수 있는 문항을 먼저 찾으세요.

난이도 분포 — 중반의 그래프 해석과 후반의 조건 결합

쉬움 문항은 모두 정적분의활용에 속합니다. 4번은 초기 위치와 변화량, 6번은 정지 시각까지의 거리, 17번은 곡선과 축 사이의 넓이를 다룹니다. 계산 흐름은 비교적 짧지만 초기 조건, 속도의 부호, 넓이의 양수 처리를 빠뜨리지 않아야 합니다.

보통 구간에는 평균값 정리의 2번, 역함수의 넓이를 다루는 5번, 적분 관계를 미분하는 11·18번이 포함됩니다. 같은 분류 안에서도 출발 아이디어가 다르므로 하나의 계산 공식만 반복해서는 대비가 어렵습니다. 조건이 기울기인지, 함수의 차인지, 넓이인지 먼저 구별하세요.

8~10번에서 어려움 문항이 이어지고 12번, 14~16번, 20번에서도 복합적인 해석을 요구합니다. 특히 15·20번은 개수를 나타내는 함수를 이해하는 단계가 필요합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 실제 체감 난도는 부호와 그래프 해석에 익숙한 정도에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 적분과 연결

도함수의활용은 시험의 절반을 차지합니다. 극값으로 계수를 결정하는 1번에서 출발해 중근과 부호를 해석하는 8번, 실근 개수와 접점을 연결하는 10번, 구간과 함수의 결합을 다루는 14~16번으로 확장됩니다. 도함수를 구하는 연습과 함께 그 부호가 원함수에 주는 정보를 말로 설명해 보세요.

정적분의활용은 운동과 넓이로 나누어 준비할 수 있습니다. 4·6·13번은 속도에서 위치나 이동거리를 얻고, 5·9·17번은 그래프의 대칭과 위아래 관계를 이용합니다. 특히 13번은 두 점 사이의 거리가 최소가 되는 시각과 한 점이 움직인 거리를 구분해야 합니다.

문항 수가 적은 단원도 연결 역할이 큽니다. 11·18번은 적분 등식을 미분하여 함수 정보를 얻고, 12번은 그렇게 얻은 도함수의 부호를 분석합니다. 20번은 연속 단원이지만 방정식의 실근 개수가 먼저 필요합니다. 단원 이름만 보고 준비 범위를 좁히지 마세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 특정 지점에서 개수나 부호가 달라지는 이유를 설명해야 한다는 것입니다. 구간 내부의 일반적인 경우와 경계의 예외를 분리해 적는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 4·6번처럼 적분 구간이 곧 정해지는 문항과 익숙한 기본형을 먼저 처리하세요. 8~10번에서 그래프 해석이 길어지면 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 17~19번에도 접근 가능한 문제가 있으므로 객관식 후반에 시간을 모두 쓰지 않도록 전체 순회를 연습하는 것이 좋습니다.

운동 문제에서는 시각, 위치, 두 점 사이의 거리, 한 점의 이동거리를 풀이 옆에 구분해 적으세요. 3번은 같은 속도의 시각에서 위치를 비교하고, 13번은 거리 최소 시각을 찾은 뒤 이동거리를 별도로 구합니다. 6번처럼 속도 부호가 유지되는 경우와 13번처럼 부호가 바뀌는 경우를 같은 방식으로 처리하지 마세요.

검토할 때는 계산을 처음부터 반복하기보다 조건을 확인하세요. 8번은 도함수의 영점 양옆 부호, 14번은 열린구간의 끝점 제외, 16번은 연결점의 미분가능성, 20번은 실근의 중복이 중요합니다. 서술·단답형에서는 구간을 나눈 이유와 경계의 포함 여부를 남겨 두면 자신의 풀이도 빠르게 점검할 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분의 기본 해석부터 정리하세요. 극값의 필요조건과 부호 변화에 의한 판정을 구별하고 평균값 정리의 적용 조건과 최댓값 달성 여부를 확인하세요(1·2·8·19번 대비).
2. 위치·속도·가속도를 서로 변환하는 연습을 하세요. 적분에는 초기 위치를 반영하고, 이동거리를 구할 때는 속도의 부호가 바뀌는 시각을 표시하세요(3·4·6·7·13번 대비).
3. 넓이는 교점과 위아래 관계부터 결정하세요. 역함수의 대칭, 원점 대칭을 이용하는 유형과 축 아래의 넓이를 양수로 나타내는 유형을 묶어 복습하세요(5·9·17번 대비).
4. 적분 등식을 미분하는 유형을 연습하세요. 적분 변수와 끝점 변수를 구별하고, 곱의 미분에서 소거되는 항을 확인한 뒤 추가 조건으로 상수를 정하세요(11·12·18번 대비).
5. 그래프의 극점과 구간을 함께 움직여 보세요. 수평선과 접하는 경우, 열린구간에서 최대·최소가 없는 경우, 조각함수의 연결 조건을 차례로 비교하세요(10·14·16번 대비).
6. 개수를 나타내는 함수는 경계까지 표로 정리하세요. 일반적인 교점 개수와 접점·중복근의 예외를 분리한 뒤 좌우 극한과 함숫값을 확인하세요(15·20번 대비).