중동고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

중동고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

중동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 출제 범위는 도함수의 활용부터 부정적분, 정적분과 그 활용까지입니다. 미분의 그래프 해석과 적분의 누적량 해석을 함께 준비해야 하는 구성입니다.

자동 분류 기준으로 어려움이 절반을 넘지만, 모든 문항이 복잡한 계산을 요구하는 것은 아닙니다. 도함수의 부호로 극값을 판단하거나 두 부정적분의 관계를 확인하는 기본형과, 조건을 여러 단계로 해석하는 문항이 섞여 있습니다. 기본 개념을 정확하게 처리해 고난도 풀이 시간을 확보하는 것이 중요합니다.

서술·단답형은 마지막에만 모여 있지 않습니다. 14번의 항상 성립하는 부등식, 17번의 적분상수, 18번의 접선, 19번의 곡선 사이 넓이를 따로 확인하세요. 형식만 보고 난도를 예상하기보다 자신이 바로 시작할 수 있는 문항을 찾아야 합니다.

난이도 분포 — 중반에 이어지는 어려움 문항

쉬움 문항인 1·2·3번은 평균값 정리, 대칭 구간의 정적분, 부정적분의 정의를 확인합니다. 뒤쪽 17·18번도 같은 분류이므로 초반에서 막혔을 때 다시 진입할 수 있는 구간입니다. 쉬움 분류라도 적분상수나 접점 후보를 빠뜨리면 계산을 맞히고도 마무리를 놓칠 수 있습니다.

보통 문항은 4·6·7·14번입니다. 도함수 그래프의 부호, 도형의 부피 최대화, 운동 방향과 거리, 제한된 구간의 최솟값처럼 해석 대상이 달라집니다. 공식을 고르기 전에 무엇을 변수로 삼고 무엇의 부호를 확인할지 정리하세요.

8~13번은 자동 분류 기준 어려움이 이어지는 구간입니다. 넓이 계산에 최적화가 붙거나, 적분으로 정의된 함수와 절댓값 그래프를 해석해야 합니다. 이 구간에서 풀이 방향이 잡히지 않는 문항을 표시하고 넘어가야 후반의 기본형까지 검토할 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의활용이 절반

도함수의활용에서는 접선과 증가·감소를 넘어 실근 개수, 매개변수 조건, 절댓값의 미분가능성까지 연결됩니다. 11·12·15·16·20번을 준비할 때에는 도함수를 구하는 데서 멈추지 말고 부호표가 원래 조건을 어떻게 설명하는지 말로 정리해 보세요.

정적분의활용은 넓이와 운동 해석으로 나뉩니다. 8·9·19번은 두 그래프의 차와 적분 구간을 정하는 것이 출발점이고, 7·13번은 위치와 속도, 이동 거리를 구별해야 합니다. 같은 정적분도 무엇을 누적하는지에 따라 부호를 처리하는 방식이 달라집니다.

정적분 단원의 5·10번은 미분과의 관계를 이용하는 문항입니다. 적분식을 미분해 함수를 알아내는 과정과 경계에서의 연속성을 함께 연습하세요. 부정적분의 3·17번은 정의와 적분상수의 역할을 정리하면 대비할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 수학II, 어려움 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학II이며 총 문항 수도 같습니다. 서술·단답형은 작년 6문항에서 올해 4문항으로 줄었지만 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 11문항으로 늘었습니다. 서술·단답형이 줄었다는 사실만으로 풀이 부담이 낮아졌다고 보기는 어렵습니다.

작년에는 도함수의활용과 정적분의활용이 각각 7문항이었고, 올해에는 각각 10문항과 5문항입니다. 정적분은 5문항에서 3문항, 부정적분은 1문항에서 2문항으로 바뀌었습니다. 올해를 대비 자료로 사용할 때에는 도함수 활용의 그래프 추론을 우선 보완하되 적분의 기본 정의도 함께 점검하세요.

작년의 어려움은 9·10번에서 시작했지만 올해에는 5번부터 나타나고 8~13번에 이어집니다. 작년 자료의 후반 집중 배치만 예상해서는 올해 중반의 부담에 대응하기 어렵습니다. 기본형을 먼저 확보하고 복합 조건 문항으로 돌아오는 순서를 연습할 필요가 있습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위가 확인된 문항이 아니라 조건 해석의 복합성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 한 조건에서 얻은 부호나 영점 정보를 다음 단계까지 유지해야 합니다. 풀이 옆에 확정된 조건을 짧게 기록하면 불가능한 경우를 다시 계산하는 일을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~4번을 처리하고 5번의 적분식 해석에서 막히면 표시한 뒤 진행하세요. 중반의 어려움 구간을 모두 해결한 후 서술·단답형을 보겠다는 계획보다, 14·17·18번의 풀이 가능성을 먼저 확인하는 편을 권합니다. 실제 시험 시간과 배점 정보는 자료에 없으므로 고정된 분 단위보다 풀이 진전 여부로 이동 기준을 정하세요.

넓이와 운동 문제에서는 부호 확인 시간을 따로 남겨야 합니다. 8번의 교점은 절댓값을 나눈 구간에 속하는지, 9번은 최적화 뒤에 정한 직선이 맞는지, 19번은 그림의 지정 영역을 적분했는지 확인하세요. 7·13번에서는 위치의 부호와 속도의 부호를 분리해서 기록하면 혼동을 줄일 수 있습니다.

마지막 점검은 경계와 누락된 후보에 집중하세요. 11·15번은 극값 높이에서의 교점 중복, 16·20번은 영점에서 부호와 미분가능성, 18번은 접점 후보를 확인해야 합니다. 서술 답안에는 부호표나 범위 조건을 남겨 계산 결과가 원래 조건을 만족하는 이유를 드러내세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의부터 점검하세요. 평균값 정리의 적용 구간, 대칭 정적분, 적분상수의 역할을 짧은 풀이로 설명하는 연습을 합니다(1·2·3·17번 대비).
2. 도함수의 부호표를 완성하세요. 극값 후보와 실제 극값을 구분하고, 제한된 범위의 최솟값과 접선 조건을 연결합니다(4·14·18번 대비).
3. 도형의 관계를 한 변수 함수로 바꾸세요. 부피나 거리의 제곱을 식으로 세우고 가능한 범위 안에서 최적화합니다(6·9번 대비).
4. 적분 구간과 부호를 먼저 표시하세요. 넓이는 함수의 차, 운동은 속도의 누적량으로 나누어 설명합니다(7·8·13·19번 대비).
5. 적분식의 미분과 경계 조건을 묶어 연습하세요. 대입으로 얻는 조건을 보존하고, 구간에 따라 미분 관계가 달라지는지 살핍니다(5·10번 대비).
6. 조건을 그래프로 번역하는 연습을 마무리하세요. 절댓값, 수평선과의 교점, 중근, 연속성 조건을 표로 정리한 뒤 시간을 재고 다시 풉니다(11·12·15·16·20번 대비).