중동고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

중동고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

중동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한값 계산부터 연속 조건, 미분가능성, 접선과 실근 개수까지 이어져 개념 사이의 연결을 점검할 수 있는 시험입니다.

초반에는 그래프의 극한, 유리화, 미분계수의 정의 같은 기본 도구를 확인합니다. 중반부터는 주기성과 연속성, 접선의 기울기와 극한 조건처럼 서로 다른 정보를 함께 사용합니다. 공식을 외운 뒤 바로 대입하는 연습만으로는 조건을 정리하는 단계에서 시간이 걸릴 수 있습니다.

후반의 고난도 문항은 함수의 형태를 먼저 구성하거나 구간별로 가능한 경우를 가려야 합니다. 반면 서술·단답형은 연속을 위한 정의역 확인과 곱의 미분법이 중심입니다. 답안 형식보다 문항의 조건 수와 풀이 구조를 보고 시간을 배분하는 것이 적절합니다.

난이도 분포 — 후반에 집중된 어려움 문항

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간에서는 좌우에서 접근하는 방향, 유리화 후의 정리, 미분계수에서 증분을 맞추는 작업이 중심입니다. 계산이 짧아 보여도 극한과 함수값을 혼동하거나 곱의 미분에서 한 항을 빠뜨리면 손실이 생깁니다.

보통 문항은 기본 개념에 추가 조건이 붙습니다. 7번은 연속과 주기를 함께 읽어야 하고, 9번은 극한에서 나온 후보를 접선 기울기의 부호로 걸러야 합니다. 조건을 사용한 순서를 표시하면 계산 뒤 검토가 쉬워집니다.

12번부터 어려움 문항이 나타나지만 계속 같은 수준으로 이어지지는 않습니다. 15·18번을 먼저 확인해 해결한 뒤 남은 고난도 문항에 돌아오는 운영이 가능합니다. 특히 19·20번은 후보를 구한 다음 개수를 세는 단계가 남아 있어 중간 계산만으로 풀이가 끝나지 않습니다.

출제 단원 — 연속의 비중과 접선 활용의 부담

함수의연속은 출제량이 가장 많습니다. 곱함수의 연속 여부, 구간 경계의 연결, 분모가 사라지는 지점의 처리 등 연속을 적용하는 대상이 다양합니다. 단원 이름만 보고 비슷한 계산의 반복으로 생각하지 말고, 함수값·좌극한·우극한을 각각 확인하는 습관을 들이세요.

도함수의활용에는 접선과 관련된 11·12·13·20번이 포함됩니다. 특히 나머지를 접선으로 해석하거나 도형의 넓이를 함수의 차로 나타내는 과정이 필요합니다. 접선 공식을 쓰는 능력과 접한다는 조건을 중근 구조로 읽는 능력을 함께 연습해야 합니다.

미분계수와도함수는 정의를 이용한 극한과 구간별 미분가능성으로 나뉩니다. 함수의극한은 기본 계산 외에도 19번처럼 다항식의 형태와 실근 개수로 연결됩니다. 단원별 기본 학습 뒤에는 극한·연속·미분을 함께 사용하는 문항을 묶어 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 도함수 활용이 포함됐습니다

작년과 올해 모두 같은 과목인 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 7문항으로 줄고 쉬움은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 서술·단답도 4문항에서 2문항으로 줄었지만, 이 수치만으로 실제 체감 난이도가 크게 낮아졌다고 단정할 수는 없습니다.

작년에는 함수의극한이 8문항으로 가장 많았고, 함수의연속과 미분계수와도함수는 각각 6문항이었습니다. 올해는 함수의극한이 4문항이며 함수의연속은 6문항을 유지했습니다. 올해 자료에는 도함수의활용 5문항이 포함돼 있으므로, 작년 시험의 극한 비중만 보고 준비 범위를 정하면 접선 활용 연습이 부족해질 수 있습니다.

작년 어려움은 9·10번부터 나타났고, 올해는 12번부터 나타납니다. 올해도 마지막 19·20번이 어려움이라는 점은 같습니다. 다음 대비에서는 초반 기본 문항을 안정적으로 처리한 뒤, 후반의 접선과 실근 개수 조건을 끝까지 정리하는 연습을 이어 가세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 계산 전에 대상을 정확히 정해야 한다는 공통점이 있습니다. 도형의 길이인지, 곱함수의 성질인지, 허용되는 접점인지 구별한 다음 계산하세요. 이 선정은 해설 구조를 바탕으로 한 분석상 고난도 문항 선정이며 이용자 투표에 따른 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·3·5번과 18번의 기본 계산을 안정적으로 처리하고, 보통 문항에서 조건식을 바로 세울 수 있는지 확인하세요. 12번 이후에도 15·18번을 별도로 확인하면 뒤쪽의 비교적 단순한 문항을 남기는 일을 줄일 수 있습니다. 전체 시험 시간이 제시되지 않았으므로 고정된 분 단위보다 남은 문항과 진행 상태로 조절하세요.

고난도 문항에서 같은 계산을 반복하는데 새 조건을 쓰지 못하고 있다면 표시하고 이동하세요. 돌아왔을 때는 전개식부터 다시 읽기보다 아직 쓰지 않은 조건을 찾는 편이 좋습니다. 서술·단답형 15번은 분모의 정의 조건, 18번은 곱의 미분 과정을 확인할 여유를 남겨 두세요.

검토할 때는 7번의 주기 경계, 8번의 약분에서 제외한 점, 9번의 기울기 부호, 10번의 이동량 제한을 우선 확인하세요. 13번의 길이에 붙는 절댓값과 19·20번의 구간 끝점도 중요합니다. 연속이라고 해서 곧바로 미분가능하다고 판단하지 말고, 좌우미분계수 비교까지 했는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한 기본 계산부터 정리하세요. 그래프의 접근 방향, 유리화, 알려진 극한이 드러나는 식 변형을 묶어 연습하세요(1·2·5번 대비).
2. 미분계수의 정의와 곱의 미분법을 복습하세요. 증분의 배율을 맞추는 문제와 미분 후 대입하는 문제를 구분하세요(3·9·18번 대비).
3. 연속의 조건을 함수값·좌극한·우극한으로 나눠 적으세요. 주기 경계와 약분에서 빠진 점, 분모의 정의 조건을 함께 확인하세요(6·7·8·15번 대비).
4. 구간별 미분가능성을 집중적으로 연습하세요. 먼저 연속을 확인하고 좌우미분계수를 비교한 뒤, 곱함수에서 조건이 달라지는 이유를 설명하세요(10·14·16번 대비).
5. 접선은 접점을 변수로 두는 풀이와 함수와 직선의 차를 인수분해하는 풀이를 연결하세요. 도형의 길이를 나타낼 때는 절댓값을 확인하세요(11·12·13번 대비).
6. 매개변수에 따른 불연속과 실근·접선 개수를 표로 정리하세요. 후보를 찾는 단계와 실제 허용 구간을 검증하는 단계를 나눠 풀어 보세요(4·17·19·20번 대비).