개포고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

개포고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 속도와 위치, 극값과 최대·최소, 곡선으로 둘러싸인 넓이가 주요 내용입니다.

초반에는 미분과 적분의 기본 연산을 확인하고, 이후에는 조건을 이용해 함수의 형태와 그래프를 추론합니다. 같은 최대·최소 문제라도 직사각형의 넓이, 이동하는 구간, 접선의 절편처럼 대상이 달라집니다. 무엇을 변수로 두고 어떤 함수를 최적화하는지 먼저 정리해야 합니다.

후반에는 절댓값과 미분가능성, 합성함수의 실근, 극한이 존재하는 지점의 개수처럼 여러 개념을 연결하는 문제가 보입니다. 풀이의 길이를 줄이려면 전개 전에 대칭성, 중근, 접점, 부호 구간을 찾아야 합니다. 자동 분류 기준의 난이도를 참고하되 자신의 취약 개념에 맞추어 복습 순서를 조정하세요.

난이도 분포 — 후반 객관식에 집중된 조건 해석

쉬움은 1·2번입니다. 위치를 미분해 속도를 구하는 과정과 도함수를 적분해 원래 함수를 찾는 과정이 각각 출발점입니다. 기본 연산에서 시간을 줄이되, 적분상수와 주어진 함숫값을 연결하는 단계는 생략하지 마세요.

보통은 3~9번과 19번입니다. 실근의 부호, 극값이 없는 조건, 대칭성을 이용한 정적분, 역함수의 넓이 해석 등 접근법이 다양합니다. 자동 분류 기준 보통이어도 조건 해석이 늦어지면 시간이 걸릴 수 있으므로 대표적인 그래프를 짧게 그리는 연습이 필요합니다.

어려움은 10~18번과 20번에 이어집니다. 도함수 그래프에서 원함수의 성질을 읽거나, 미분가능성으로 근의 중복을 제한하고, 넓이를 매개변수의 함수로 바꾸는 식의 단계가 겹칩니다. 19번을 후반 전체와 함께 미루지 않는 시험 운영이 중요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 넓이 해석 중심

도함수의활용은 1·3·4·7·10·12·16·18·19번입니다. 단순한 극값 계산에서 출발해 도함수의 비교, 조각별 함수, 이동 구간의 최댓값, 접선의 절편으로 확장됩니다. 도함수가 사라지는 지점을 구하는 것과 실제 극값이 생기는 것을 구별하는 것이 공통 과제입니다.

정적분의활용은 8·9·11·13·17·20번입니다. 위치의 변화량과 역함수의 적분 외에도 교점 조건, 대칭성, 같은 넓이 조건, 넓이 합의 최적화를 다룹니다. 적분 구간을 정하기 전에 그래프의 위아래와 교점을 표시하는 습관이 계산 실수를 줄여 줍니다.

정적분의 5·6·15번은 대칭성이나 적분 등식을 이용한 함수 추론과 연결됩니다. 미분계수와도함수의 14번도 절댓값 함수의 미분가능성을 다루므로, 단원별 문제 수가 적다는 이유로 제외하기 어렵습니다. 미분가능성의 조건을 적분 등식과 함께 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 줄고 어려움은 증가

작년과 올해 모두 수학II입니다. 총 문항은 21문항에서 20문항으로 줄었지만, 자동 분류 기준 어려움은 9문항에서 10문항으로 늘었습니다. 쉬움과 보통은 각각 줄었으므로 전체 문제 수만 보고 풀이 부담이 낮아졌다고 해석하기 어렵습니다.

가장 많은 단원은 두 해 모두 도함수의활용 9문항입니다. 정적분의활용은 7문항에서 6문항, 정적분은 4문항에서 3문항으로 줄었고, 부정적분은 1문항으로 같습니다. 올해는 미분계수와도함수 1문항이 포함되어 있어 미분가능성 조건을 따로 점검할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 9번과 14~21번이었고 올해는 10~18번과 20번입니다. 서술·단답형은 작년 21번이 어려움, 올해 19번이 보통입니다. 다음 시험 준비에서도 후반 문항의 번호나 형식만으로 난도를 예상하기보다, 도함수 활용과 적분의 조건 해석을 함께 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설에서 확인되는 조건 연결의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 주어진 식을 바로 계산하기 전에 다른 개념의 조건으로 바꾸어야 한다는 것입니다. 풀이 첫 줄에 미분가능성, 극한 존재, 넓이의 부호 중 무엇을 먼저 해석할지 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 미분·적분과 그래프 구조가 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 10번 이후 조건 정리가 길어지면 표시하고 다른 문항을 확인하며, 보통으로 분류된 19번도 함께 살펴보세요. 전체 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 배분보다 조건 해석이 막히는 시점을 기준으로 이동하는 연습이 적절합니다.

절댓값은 무조건 구간을 많이 나누기보다 무엇이 사라지는 지점인지부터 확인하세요. 14·15번은 미분가능성과 근의 형태가 연결되고, 18번은 분자의 내부가 사라지는지에 따라 극한 해석이 달라집니다. 12번에서는 접합점의 도함수가 사라진다는 사실과 극값의 존재를 구별해야 합니다.

검토할 때는 3번의 실근 부호와 경계 제외, 8번의 출발 후 조건, 11번의 구간별 근을 확인하세요. 13·17·20번은 넓이를 양수로 합하는 과정과 부호 있는 정적분의 차이를 점검하고, 16번은 움직이는 구간의 끝점을 다시 보세요. 19번은 매개변수의 각 경우가 모든 입력에 대한 조건을 만족하는지 근거를 남기세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 위치와 속도의 미분·적분 관계를 복습하고 초기 조건과 적분상수를 연결하세요. 만남은 속도의 일치가 아니라 위치의 일치임을 확인하세요(1·2·8번 대비).
2. 증감표로 실근의 개수와 부호, 극값이 없는 조건을 해석하세요. 도함수가 사라지는 지점에서 실제 부호가 바뀌는지도 적으세요(3·4·10번 대비).
3. 함수의 대칭성과 역함수의 넓이 해석을 익힌 뒤 도함수의 적분을 높이 차로 바꾸어 보세요(5·9·13번 대비).
4. 적분 등식은 기준값 대입과 미분을 연결하고, 절댓값 함수는 접합점의 연속성과 좌우 미분계수를 구별해 연습하세요(6·12·14·15번 대비).
5. 넓이 문제는 교점과 부호표부터 작성하세요. 같은 넓이 조건을 정적분의 상쇄로 바꾸고, 움직이는 교점을 변수로 잡는 유형까지 확장하세요(11·17·20번 대비).
6. 최대·최소는 목적 함수와 변수 범위를 먼저 적으세요. 도형의 넓이에서 이동 구간과 접선 절편으로 대상을 바꾸어 풀어 보세요(7·16·19번 대비).
7. 절댓값이 포함된 극한의 존재 조건을 경우별로 정리한 뒤 교점 개수가 변하는 높이와 연결하세요. 경계에서 개수를 다시 세는 연습으로 마무리하세요(18번 대비).