보인고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

보인고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동, 여러가지부등식, 이차방정식입니다. 좌표평면의 점과 직선에서 시작해 원과 도형의 변환을 결합하는 구성이 중심입니다.

기본 공식의 적용만으로 끝나는 문제와 도형의 성질을 먼저 찾아야 하는 문제가 함께 있습니다. 거리 공식은 같은 거리에 있는 점을 찾는 데 쓰이고, 수직 관계는 접선이나 수선의 발을 결정하는 데 쓰입니다. 같은 공식을 어느 관계에 적용하는지 구별하는 연습이 필요합니다.

후반에서는 계산 전에 조건을 정리하는 시간이 중요합니다. 평행이동 뒤 공통부분의 모양을 판단하거나 반사 경로를 대칭이동으로 바꾸고, 움직이는 점의 자취를 원으로 해석해야 합니다. 서술·단답형에서는 이러한 전환의 근거를 짧게 적고 계산을 이어 가세요.

난이도 분포 — 기본형 뒤에 이어지는 도형 조건 결합

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번입니다. 원점 대칭, 직선 위의 점, 원이 되기 위한 조건, 같은 거리와 무게중심처럼 출발점이 분명한 개념을 다룹니다. 이 구간에서는 긴 풀이보다 부호와 반지름 조건을 정확히 확인해 안정적으로 처리하는 것이 좋습니다.

보통은 객관식 5~12번과 서술·단답형 16·20번입니다. 접선과 거리, 평행과 수직을 연결하는 문제가 이어지므로 한 단계의 공식 적용 뒤에 다른 조건이 남아 있는지 확인하세요. 서술·단답형에도 접근 가능한 문항이 있으므로 객관식 후반에서 막혔을 때 전체를 다시 살펴볼 필요가 있습니다.

어려움은 객관식 마지막 구간과 서술·단답형에 배치되어 있습니다. 13번의 겹치는 도형, 18번의 반사 경로, 21번의 기울기 범위처럼 그림을 새로운 형태로 읽는 부담이 큽니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며, 개별 학생의 체감 난도 순위를 뜻하지는 않습니다.

출제 단원 — 직선의 기본기와 도형의이동의 응용

직선의방정식은 2·6·7·8·12·19번입니다. 두 점을 지나는 직선에서 시작해 점과 직선 사이의 거리, 평행·수직 조건으로 확장됩니다. 19번에서는 원에 내접하는 사각형과 닮음 관계를 파악한 뒤 직선의 교점으로 돌아오므로 좌표식만 반복하는 준비로는 부족합니다.

도형의이동은 1·13·15·18·21번으로, 기본 대칭 이후에는 자동 분류 기준 어려움이 이어집니다. 원의방정식은 3·5·10·11·17번에서 원의 성립 조건, 접선, 현, 자취를 다룹니다. 두 단원은 이동한 도형의 위치나 접하는 직선의 의미를 설명할 수 있도록 함께 학습하세요.

여러가지부등식은 14·16번으로 정수해의 개수와 해가 없을 조건을 구별해야 합니다. 평면좌표의 4·9번은 거리와 분점의 기하적 의미가 중요하고, 이차방정식의 20번은 켤레근과 근과 계수의 관계로 정리할 수 있습니다. 도형 학습 중에도 대수의 기본형을 유지하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 원 중심에서 직선·이동으로 넓어진 구성

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 10문항에서 올해 7문항으로 줄었고 보통은 6문항에서 10문항으로 늘었습니다. 전체 문항과 서술·단답 문항은 늘었으므로, 어려움 문항 수가 줄었다는 사실만으로 풀이 시간이 여유로웠다고 단정할 수는 없습니다.

작년에는 원의방정식이 8문항으로 가장 많았습니다. 올해는 직선의방정식이 6문항으로 가장 많고, 도형의이동은 작년 3문항에서 올해 5문항으로 늘었습니다. 원의방정식은 올해 5문항이지만 접선과 자취 해석이 남아 있으므로, 직선의 거리와 이동을 원 문제에 연결하는 방향으로 준비하세요.

작년 어려움은 객관식 4·6·7·8·9·10·13·14·15번과 서술·단답형 18번에 있었습니다. 올해는 객관식 13~15번과 서술·단답형 17·18·19·21번에 있습니다. 올해의 배치에 대비하려면 초중반을 정확히 처리한 뒤 서술·단답형의 도형 해석에 집중할 여력을 남기는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 해석의 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산할 대상을 먼저 바꾸어야 한다는 것입니다. 겹친 영역은 단순한 도형의 차로, 반사 경로는 선분으로, 좌표의 비는 기울기로 읽는 연습을 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번을 정확히 처리하고 5~12번에서 거리·접선의 기본 관계를 확보하세요. 13~15번에서 그림의 해석이 잡히지 않으면 조건과 시도한 방법을 적어 두고 넘어가세요. 서술·단답형의 16·20번도 먼저 살펴보면 후반 고난도 문항에 쓸 시간을 정리하기 좋습니다.

서술·단답형은 핵심 근거를 먼저 적는 연습이 필요합니다. 17번은 각의 이등분선에서 거리비로 넘어가는 이유, 18번은 중심의 반사 기준선, 19번은 수직 관계에서 원과 닮음을 찾는 이유가 출발점입니다. 제한 시간을 둔 연습에서는 그림을 읽는 시간과 식을 계산하는 시간을 나누어 기록해 보세요.

마지막 검토는 경계와 제외 조건을 중심으로 하세요. 3번은 반지름이 사라지는 경우를 원으로 포함하지 않아야 하고, 14번은 정수해를 셀 때 열린 끝점과 닫힌 끝점을 구별해야 합니다. 16번은 최고차항의 계수가 사라지는 경우를 따로 확인하고, 13·21번은 구한 후보가 도형의 위치 조건에 맞는지 되돌아보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·분점·무게중심의 기본 공식을 복습하세요. 같은 거리 조건을 식으로 쓴 뒤 수직이등분선과 직각삼각형의 의미도 설명해 보세요(4·9번 대비).
2. 직선의 평행·수직과 점과 직선 사이의 거리를 묶어 연습하세요. 분모가 사라지는 예외와 절댓값의 부호 조건을 확인하세요(2·6·7·8·12번 대비).
3. 원은 완전제곱으로 중심과 반지름을 읽은 뒤 현과 접선 문제로 확장하세요. 접선에 수직인 반지름을 먼저 표시하세요(3·5·10·11번 대비).
4. 평행이동·대칭이동은 점의 좌표와 도형 전체의 위치를 함께 그리세요. 이동 뒤 공통부분과 실제 이동 경로를 확인하는 유형을 연습하세요(1·13·15·18번 대비).
5. 자취와 극값은 식을 세우기 전 움직이는 대상과 고정된 대상을 구별하세요. 거리비로 얻는 원과 두 원의 공통접선을 연결해 보세요(17·21번 대비).
6. 부등식의 경계와 계수의 예외를 정리하고 켤레근·근과 계수의 관계를 복습하세요. 도형에서는 수선의 발이 만드는 원과 닮음의 근거도 적어 보세요(14·16·19·20번 대비).