상문고등학교
2022년 1학년 2학기 중간고사

상문고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험은 집합과 명제에서 함수, 합성함수와 역함수까지 다루며 산술평균과 기하평균의 관계도 출제됩니다. 집합 연산의 기호를 읽는 기초와 여러 조건을 동시에 만족시키는 구조를 찾는 응용이 함께 들어 있습니다.

집합과 명제에서는 말의 의미를 정확하게 해석하는 능력이 중요합니다. 합집합과 교집합에 대응하는 연결어, 명제의 방향, 모든 원소에 대한 조건과 일부 원소의 존재를 구별해야 합니다. 부등식이 등장하더라도 해를 구하는 데서 끝나지 않고 그 해가 어떤 진리집합을 이루는지 살펴야 합니다.

함수 영역은 역함숫값의 정의에서 구간별 함수와 역함수 그래프의 관계로 확장됩니다. 유한집합에서의 대응을 추적하는 문제와 합성함수 그래프를 구간별로 나누는 문제도 있습니다. 같은 역함수 단원이라도 수치 대입, 대응표, 그래프 스케치 중 알맞은 방법을 고르는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 서술·단답형 후반의 조건 연결

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~6번과 15번입니다. 명제와 조건의 차이, 역함숫값의 뜻, 집합 연산과 부분집합을 정확히 알면 출발할 수 있습니다. 다만 6번처럼 증명의 포함 방향을 읽거나 15번처럼 식의 변형에 쓰인 법칙을 구별하는 문항은 정의를 말로 설명할 수 있어야 안정적으로 처리합니다.

보통 구간에서는 다른 표현으로 바꾸는 단계가 더해집니다. 7번은 교점의 좌표와 기울기 관계를 함수의 성질로 연결하고, 8번은 합성을 따라가면서 구간을 확인합니다. 12·13번은 명제의 참과 거짓을 진리집합으로 옮기는 문제이므로 문장을 직관으로만 판단하면 방향을 바꾸기 쉽습니다.

11·14번을 지나면 서술·단답형의 15·16번을 먼저 살펴볼 수 있습니다. 17~20번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어지는 구간입니다. 이 분류를 실제 응시자의 체감 난도로 단정할 수는 없지만, 역함수와 집합 조건을 여러 단계로 연결하는 연습이 후반 대응에 도움이 됩니다.

출제 단원 — 집합·명제·합성함수와역함수의 서로 다른 역할

집합은 기초 개념을 확보하는 축입니다. 조건제시법, 서로소, 부분집합의 선택, 집합의 상등과 연산 법칙을 확인합니다. 9번에서는 여집합을 계산하기 전에 전체집합을 복원해야 하고, 10번에서는 약수 관계로 가능한 경우를 걸러야 하므로 기호 계산만 반복하는 공부로는 충분하지 않습니다.

명제는 집합 단원과 이어서 공부하는 편이 좋습니다. 2·12·13번은 진리집합의 포함이나 서로소 관계로 판단하고, 14·18번은 부등식과 존재 조건까지 연결합니다. 특히 모든 원소가 만족한다는 조건과 만족하는 원소가 있다는 조건을 각각 집합 관계로 써 보는 연습이 중요합니다.

합성함수와역함수에는 자동 분류 기준 어려움 문항이 11·17·19·20번에 놓여 있습니다. 그래프의 대칭, 일대일대응, 합성의 순서를 함께 다뤄야 합니다. 함수 7번의 정의역·치역 구별과 절대부등식 16번의 양수 조건도 빠뜨리지 말고, 단원별 개념이 어떤 계산의 근거가 되는지 확인하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 문항 가운데 조건 연결 과정을 살펴 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인한 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 개별 계산에 앞서 전체 구조를 정해야 한다는 것입니다. 대칭인 교점, 남은 대응, 추가 구간 경계를 먼저 표시하면 계산의 목적을 잃지 않을 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~6번의 정의와 기본형을 정확하게 처리하고, 객관식에서 막힌 문항은 표시한 뒤 다음 문제를 확인하세요. 11번의 그래프 조건에 오래 머물러 12·13번이나 서술·단답형 15·16번을 볼 시간이 부족해지지 않도록 연습해야 합니다. 전체 제한 시간이 확인되지 않으므로 고정된 분 단위 배분보다 문항별 접근 가능성을 판단하는 훈련이 적절합니다.

서술·단답형에서는 계산 전 근거를 짧게 적으세요. 16번은 길이의 표현과 양수 조건, 17번은 역함수의 대칭 관계, 18번은 집합의 포함 관계가 출발점입니다. 19번은 대응표, 20번은 구간표를 먼저 만들면 같은 조건을 반복해서 읽는 시간을 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 경계 포함과 존재 조건을 우선 확인하세요. 8번은 역으로 찾은 입력이 해당 구간에 있는지, 13·18번은 공집합 관련 조건을 사용했는지 살펴야 합니다. 14번에서는 정수 원소와 실수 해 구간을 구별하고, 16번에서는 부등식의 하한을 실제로 달성하는지, 20번에서는 경계의 교점을 중복 계산했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합 기호와 조건제시법을 말로 설명해 보세요. 원소의 포함 필수·금지·자유 선택을 구별하고 집합이 같다는 증명의 양쪽 포함을 연습하세요(4·5·6번 대비).
2. 집합 연산을 영역 그림과 식으로 함께 정리하세요. 전체집합의 복원과 약수의 포함 관계를 연습하고 변형 단계마다 쓰인 법칙을 확인하세요(9·10·15번 대비).
3. 명제를 진리집합으로 옮기는 연습을 하세요. 포함·서로소·공집합 여부를 표시한 뒤 항상 참인지 또는 항상 거짓인지 판단하세요(1·2·12·13번 대비).
4. 모든·어떤을 포함한 조건을 부등식의 해와 연결하세요. 정수 범위를 구별하고 최댓값 문제에서는 상한의 증명과 실현 가능성을 따로 확인하세요(14·18번 대비).
5. 함수의 정의역·치역과 역함숫값을 복습한 뒤 구간별 함수로 확장하세요. 합성의 순서를 지키고 역함수의 존재와 대칭인 교점을 함께 살펴보세요(3·7·8·11·17번 대비).
6. 유한집합의 대응표와 자기 합성의 구간표를 작성해 보세요. 전체 합을 이용하는 방법과 안쪽 출력에 따라 새 경계를 찾는 방법을 구별하세요(19·20번 대비).
7. 좌표로 선분 길이를 표현하는 연습을 하세요. 산술평균과 기하평균의 관계를 적용하기 전에 양수 조건을 적고 등호 성립 조건까지 검토하세요(16번 대비).