세화여자고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

세화여고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

세화여자고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 함수, 순열조합, 유리함수, 무리함수, 합성함수와역함수입니다. 함수의 기본 개념을 묻는 문항에서도 경우의 수나 그래프의 성질을 연결하므로 단원 이름만으로 풀이 방법을 정하기 어렵습니다.

함수에서는 상수함수와 항등함수, 일대일함수와 일대일대응을 구별해야 합니다. 특히 일대일대응은 서로 다른 입력의 출력이 다르다는 조건에 더해 치역과 공역이 같아야 한다는 조건까지 확인해야 합니다. 7·17번은 이 차이를 실제 구간과 그래프에 적용하는 연습에 적합합니다.

그래프 문항은 모양을 그리는 데서 끝나지 않습니다. 대칭을 거리 문제로 바꾸거나 구간별 치역으로 역함수의 존재를 판단하고, 수평선과의 교점 수를 따지는 흐름이 나타납니다. 풀이 시작 전에 정의역, 경계의 포함 여부, 점근선을 함께 표시하면 뒤의 경우 구분을 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 객관식 후반의 연속된 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 영역의 인접 관계와 곱의 법칙을 적용하는 2번입니다. 보통 문항은 1번과 3~9번, 서술·단답형의 16·18·19·20번에 있습니다. 보통 구간에서도 역함수 관계나 반복되는 함수 규칙을 정리해야 하므로 단순 대입만으로 해결하려 해서는 안 됩니다.

객관식 10~15번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 역함수의 대칭, 배치 조건이 있는 경우의 수, 합성 순서에 따른 구간 분할, 조각별 함수의 최솟값 등 출발점이 서로 다릅니다. 한 문항에서 계산이 길어지면 남은 문항의 구조를 먼저 살펴볼 필요가 있습니다.

서술·단답형의 어려움은 17·21번입니다. 17번은 구간별 치역이 전체 공역을 빠짐없이 덮는지 확인하고, 21번은 함숫값의 대소 관계와 중복 금지를 함께 처리합니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도 순위를 뜻하지는 않습니다.

출제 단원 — 함수의 대응 조건과 유리함수의 경계

함수는 4·7·8·12·16·21번으로 가장 많습니다. 함수의 개수를 세는 문제뿐 아니라 제한된 집합에서의 일대일대응, 규칙으로 정해진 함숫값, 항등함수가 되는 집합까지 다룹니다. 함수의 개수는 정의역 원소마다 공역 원소를 자유롭게 고르는 경우와 조건으로 선택이 제한되는 경우를 구분해야 합니다.

유리함수는 5·15·17·18·19번입니다. 반복 합성의 규칙, 구간별 치역, 대칭축, 절댓값 그래프와 직선의 교점처럼 관점이 다양합니다. 점근선은 그래프를 그리는 보조선이면서 치역의 끝값이 실제로 포함되는지를 판정하는 기준이므로, 모양과 범위를 함께 공부하세요.

순열조합의 2·3·9·11·20번은 곱의 법칙, 역할 구분, 공식의 검증, 인접 제한, 제외할 경우를 다룹니다. 무리함수의 1·10·13번은 정의역에서 거리와 정수 좌표의 개수로 확장됩니다. 합성함수와역함수의 6·14번에서는 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 어느 구간에 들어가는지가 핵심입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 함수 비중은 증가

작년과 올해 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 11문항에서 올해 8문항으로 줄었고, 보통은 9문항에서 12문항으로 늘었습니다. 총 문항은 20문항에서 21문항, 서술·단답형은 5문항에서 6문항으로 늘어 어려움 문항의 감소만으로 풀이 시간이 넉넉해졌다고 판단하기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 작년 순열조합 6문항에서 올해 함수 6문항으로 바뀌었습니다. 함수는 작년 3문항에서 늘었고 순열조합은 올해 5문항입니다. 유리함수는 두 해 모두 5문항이며, 합성함수와역함수는 4문항에서 2문항, 무리함수는 2문항에서 3문항으로 달라졌습니다.

작년에는 6·9번에서도 어려움 문항이 등장했고 서술·단답형의 16~19번에도 이어졌습니다. 올해는 객관식 10~15번이 연속된 어려움 구간이고 서술·단답형에서는 17·21번입니다. 다음 시험을 준비할 때는 함수의 대응 조건을 우선 보강하되, 유리함수의 치역과 경우의 수의 조건 분류도 함께 유지하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 문항 중 조건을 조직하는 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 가능한 범위나 배정 구조를 정해야 한다는 것입니다. 경계표, 치역 표시, 관계도처럼 조건을 눈에 보이게 정리하는 방법을 익혀 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 보이는 문항부터 확보하세요. 객관식 10~15번이 이어지는 구간에 들어가기 전에 서술·단답형도 훑어 16·18·19·20번의 출발점을 확인하는 편이 좋습니다. 연습할 때는 식을 세우는 시간과 계산 시간을 나누어 기록하면 어디서 멈추는지 파악할 수 있습니다.

함수 문제의 검토는 정의역과 치역에서 시작하세요. 7·17번은 일대일성만 확인하고 멈추지 말고 공역 전체를 덮는지 보아야 합니다. 14번은 구간별 해의 소속을, 18번은 교점 방정식의 차수가 낮아지는 예외를, 19번은 점근선의 높이를 포함하는지를 다시 확인하세요.

경우의 수는 무엇을 구별하고 무엇을 제외하는지 짧게 적은 뒤 계산하세요. 3번에서는 역할이 다르고, 11번에서는 줄의 위치에 따라 제한이 달라지며, 20번에서는 사용할 수 없는 상태를 제외해야 합니다. 21번은 부분 배정이 맞더라도 남은 값으로 전체 대응을 완성할 수 있는지까지 검사하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의역·치역과 일대일대응의 정의를 먼저 정리하세요. 그래프의 단조 구간과 공역을 비교하는 기본형부터 연습하세요(1·4·7번 대비).
2. 함숫값 관계와 반복 합성을 단계별로 정리하세요. 입력을 줄이는 과정과 값을 되돌리는 과정을 구별해 기록하세요(5·6·8번 대비).
3. 유리함수의 점근선, 대칭, 절댓값 변형을 연결하세요. 각 구간이 갖는 높이 범위로 교점 수를 설명해 보세요(18·19번 대비).
4. 구간별 함수는 식보다 경계표를 먼저 작성하세요. 치환 범위와 치역을 확인한 뒤 최댓값·최솟값 및 역함수 조건으로 확장하세요(10·14·15·17번 대비).
5. 경우의 수는 선택과 역할 배정, 인접 제한, 제외할 상태를 나누어 연습하세요. 공식은 계승 표현으로 검증해 보세요(2·3·9·11·20번 대비).
6. 함수의 개수는 대응 관계도와 부분집합으로 정리하세요. 정수 좌표의 개수도 범위를 먼저 적는 방식으로 연습하며 중복과 누락을 검토하세요(12·13·16·21번 대비).