양천고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

양천고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

양천고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수입니다. 다항식의 기본 연산과 인수분해를 바탕으로 방정식의 근과 함수의 그래프를 연결하는 시험입니다.

기본 계산을 빠르게 끝내는 것만큼 조건을 다른 형태로 표현하는 능력이 중요합니다. 함수의 값이 같다는 조건은 축의 위치로, 나누어떨어진다는 조건은 곱의 형태로, 복소수의 거듭제곱이 실수라는 조건은 켤레복소수와의 관계로 바꾸어 접근할 수 있습니다.

서술·단답형도 일률적으로 어렵지는 않습니다. 19번은 자동 분류 기준 쉬움, 20·22번은 보통, 21번은 어려움입니다. 앞쪽의 어려운 객관식에 머물다가 이 구간을 놓치지 않도록 시험지 전체에서 접근 가능한 문항을 찾는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심에 분산된 어려움

쉬움 문항은 1~4번과 19번입니다. 다항식의 부호 처리, 허수단위의 주기, 서로 다른 실근의 판별, 근과 계수의 관계, 음수의 제곱근 계산을 확인합니다. 익숙한 공식이라도 적용 조건과 부호를 한 줄씩 확인하면 초반의 불필요한 실수를 줄일 수 있습니다.

보통 문항은 몫의 계수 비교부터 함수식 복원과 도형 조건의 인수분해까지 폭이 넓습니다. 특히 9번은 접선이라는 조건 외에 접점이 실제 물줄기 구간 안에 있어야 하고, 20번은 바뀐 나눗셈에서 몫과 나머지를 모두 정리해야 하므로 마지막 확인을 생략하지 마세요.

어려움 문항은 한 구간에 연속되지 않습니다. 11번 이후에도 보통 문항이 이어지고, 21번 다음에는 보통인 22번이 있습니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 한 문항의 막힘을 뒤쪽 전체의 난도로 확대해 판단하지 마세요.

출제 단원 — 이차함수의 교점과 최대·최소가 중심

이차함수는 3·6·9·11·15·16·18번입니다. 교점과 접선의 조건, 축과 끝점의 비교, 함수의 관계식에서 식을 복원하는 과정까지 다룹니다. 같은 단원 안에서도 판별식으로 출발할지 꼭짓점 형태로 출발할지 골라야 하므로 유형 이름보다 주어진 조건을 보고 판단하는 연습이 좋습니다.

복소수는 주기를 이용하는 2번에서 시작해 다항식의 값을 줄이는 7번, 실수가 되는 조건을 다루는 13번, 음수의 제곱근을 계산하는 19번, 켤레 조건을 결합하는 23번으로 이어집니다. 단순 전개만 반복하기보다 고차식을 낮은 차수로 줄이거나 두 식을 빼는 방법을 함께 익히세요.

다항식과 항등식에서는 5·10·12·17·20번의 나눗셈과 인수 구조를 연결해 공부할 수 있습니다. 도형을 다루는 14·22번도 먼저 다항식을 묶어야 길이 관계가 드러납니다. 이차방정식은 근과 계수의 관계가 함수식을 구성하는 21번까지 이어지므로 공식 암기 뒤에 활용 연습이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 구간이나 인수, 경우를 정리해야 한다는 점입니다. 답안을 복습할 때도 계산 줄 수보다 처음에 어떤 기준으로 나누었는지를 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 구조가 보이는 문항부터 처리하세요. 11번에서 그래프의 경우 분류가 길어지면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 서술·단답형의 19·20·22번도 먼저 살펴볼 수 있으며, 마지막 23번은 별도로 검토할 시간을 남겨 두세요.

서술·단답형은 출발 조건을 짧게 써 두고 계산을 이어가세요. 20번에서는 나눗셈의 항등식과 나머지의 차수, 21번에서는 보조 이차식이 기존 근을 갖는 이유, 22번에서는 빗변의 대소 관계가 핵심입니다. 연습 중 막힌 지점을 조건 해석과 계산 오류로 구분해 기록하면 보완할 부분이 분명해집니다.

마지막 검토에서는 후보를 만든 조건으로 돌아가세요. 9번의 접점 위치, 11번의 구간별 근과 경계 중복, 15번의 매개변수 범위를 확인해야 합니다. 19번은 음수의 제곱근과 분모의 허수단위 처리, 23번은 실수인 경우의 누락을 확인하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 괄호와 부호, 근과 계수의 기본 변형부터 정확하게 복습하세요. 직접 근을 구하는 방법과 합·곱을 쓰는 방법의 계산량을 비교해 보세요(1·4번 대비).
2. 복소수는 허수단위의 주기와 음수의 제곱근 계산을 먼저 정리하세요. 이어서 낮은 차수의 관계식과 켤레를 이용해 전개를 줄이는 연습을 하세요(2·7·13·19번 대비).
3. 나눗셈의 항등식에서 몫과 나머지의 차수를 표시하세요. 기본 계수 비교에서 여러 나머지 조건의 결합과 반복인수 소거로 확장하세요(5·10·12·17·20번 대비).
4. 이차함수의 축과 구간을 먼저 그리는 연습을 하세요. 끝점과 꼭짓점을 비교한 뒤 매개변수가 움직일 때 경우를 나누는 순서로 공부하세요(6·15·16·18번 대비).
5. 교점과 접선 조건을 판별식으로 옮기고 얻은 근을 구간에 대조하세요. 절댓값 그래프에서는 경계의 중복도 별도로 확인하세요(3·8·9·11번 대비).
6. 조건을 보조식으로 바꾸어 근과 인수를 연결하세요. 도형은 양수와 빗변 조건을, 복소수는 실수인 경우와 계수 조건을 함께 검토하세요(14·21·22·23번 대비).