보성고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

보성고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 대수 영역과 좌표기하 영역을 함께 준비해야 하는 구성입니다.

기본 공식의 적용과 조건의 해석이 함께 필요합니다. 수직인 직선이나 이차부등식의 해를 직접 구하는 문항이 있는 한편, 허근의 주기와 인수정리, 원과 직선의 거리와 도형의 넓이를 연결해야 하는 문항도 있습니다.

서술·단답형은 15번의 거리 계산에서 시작해 방정식과 평면좌표를 거친 뒤 원과 연립방정식의 조건 분석으로 이어집니다. 뒤쪽을 모두 어렵다고 보고 미루기보다, 풀이 방향이 바로 보이는 문항을 먼저 확보하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 중간의 고비와 마지막 서술 구간

쉬움으로 분류된 1·3·4·6·15번은 무게중심, 직선의 기울기, 이차부등식, 접선, 평행선 사이 거리의 기본 연결을 확인합니다. 공식 선택을 빠르게 하되 부호와 경계 포함 여부를 확인해 불필요한 재계산을 줄이세요.

보통 문항도 계산만으로 끝나지는 않습니다. 9번은 치환으로 얻은 후보가 실제 실수해를 만드는지 확인해야 하고, 10번은 상반방정식을 치환한 뒤 원래 변수에서 실근이 존재하는지 따져야 합니다. 치환한 값과 원래 해를 구분하는 습관이 필요합니다.

어려움은 끝부분에만 있지 않습니다. 7·8번에서 긴 곱의 주기와 항상 성립하는 부등식이 먼저 나오고, 12~14번에서는 도형의 분할과 최대 넓이가 이어집니다. 마지막 19~21번은 교점 중복, 해의 유일성, 접선의 기하 성질을 정리하는 시간이 필요합니다.

출제 단원 — 방정식의 비중과 원의 응용

여러가지방정식은 가장 많은 6문항입니다. 허근, 연립방정식, 상반방정식, 근과 계수의 관계가 포함돼 있어 한 풀이법에만 익숙해서는 대응하기 어렵습니다. 식의 대칭성을 보고 치환할지, 인수분해로 경우를 나눌지 결정하는 연습이 우선입니다.

원의방정식은 6번의 접선 기본형과 13·19·21번의 응용으로 구성됩니다. 원의 중심과 직선 사이 거리를 구하는 기능에서 출발해 넓이의 최대, 교점의 개수, 접선 교점의 위치까지 확장됩니다. 거리 공식의 계산과 그 거리의 기하적 의미를 함께 익히세요.

직선의방정식과 평면좌표에서도 도형 성질이 중요합니다. 12·14번의 넓이 분할, 17번의 무게중심과 이등변삼각형, 18번의 각의 이등분선이 대표적입니다. 좌표를 모두 미지수로 두기 전에 중점·내분비·공통 높이로 관계를 줄일 수 있는지 살펴보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수보다 조건 해석의 부담에 주목

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 총 문항은 22문항에서 21문항으로 줄었지만 서술·단답형은 6문항에서 7문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움도 5문항에서 8문항으로 늘어, 전체 문항 수가 줄었다는 이유만으로 풀이 부담이 줄었다고 보기는 어렵습니다.

작년에는 여러가지부등식과 평면좌표가 각각 5문항으로 가장 많았습니다. 올해에는 여러가지방정식이 6문항으로 가장 많고 평면좌표는 3문항입니다. 직선의방정식과 원의방정식은 각각 4문항으로 유지됐으므로, 방정식의 다양한 변형에 시간을 더 쓰면서 도형의 기본 연결을 함께 점검하세요.

작년 어려움은 11·14·16·20·22번에 있었지만 올해는 7·8번부터 나타나고 서술·단답형 끝의 19~21번에도 이어집니다. 다음 시험 대비에서는 앞부분의 어려운 문항을 잠시 넘기는 연습과, 서술 구간까지 풀이 근거를 남기는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 모두 조건을 도형이나 방정식의 구조로 옮긴 뒤에 계산해야 합니다. 자동 분류 기준 어려움에 속하는 문항 중 이러한 연결이 두드러진 것을 분석상 고난도 문항으로 골랐으며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 풀이 경로가 명확한 문항부터 풀어 시간을 확보하세요. 7·8번에서 방향이 보이지 않으면 표시하고 9~11번과 서술·단답형의 기본 문항을 확인하는 방식이 좋습니다. 객관식 마지막까지 순서대로 붙잡는 운영은 15~18번을 풀 기회까지 줄일 수 있습니다.

서술·단답형에 들어가기 전에는 마지막 검토 시간도 남겨 두세요. 19번은 반지름의 구간과 경계 상황, 20번은 갈라지는 경우와 공통해 조건, 21번은 수선의 발과 닮음 관계를 먼저 적으면 풀이를 다시 읽을 때 논리의 누락을 찾기 쉽습니다.

검토할 때는 계산보다 조건을 먼저 보세요. 5번의 떨어진 경계점, 9·10번의 실수해 존재 여부, 12번의 외분점 방향, 13번의 호 제한, 18번의 양수 조건이 대표적입니다. 처음 적은 후보를 원래 조건에 돌려 확인하는 과정을 풀이의 일부로 만드세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 직선과 원의 기본 계산부터 정리하세요. 기울기·수직 조건·중심·점과 직선 사이 거리를 그림과 함께 설명해 보세요(1·3·6·15번 대비).
2. 부등식은 해 구간과 경계 포함 여부를 수직선으로 확인하세요. 그다음 해가 하나인 조건과 항상 성립하는 조건을 그래프로 확장하세요(2·4·5·8번 대비).
3. 방정식은 합과 곱, 역수의 합, 켤레근을 활용하는 치환과 인수분해를 연습하세요. 치환 후 원래 변수의 실수 조건을 확인하는 단계도 넣으세요(9·10·11·16번 대비).
4. 허근의 거듭제곱은 반복되는 묶음과 남는 인수를 나누어 기록하세요. 연립방정식은 분기한 해가 겹치는 조건까지 설명해 보세요(7·20번 대비).
5. 내분·외분과 도형 넓이를 연결하세요. 공통 높이, 중점, 무게중심, 각의 이등분선을 이용해 필요한 관계만 남기는 연습이 좋습니다(12·14·17·18번 대비).
6. 원과 직선의 응용은 거리의 최대, 교점의 중복, 접선과 닮음 순서로 연습하세요. 마지막에는 이 시험을 풀며 어려운 문항을 넘겼다가 돌아오는 순서도 점검하세요(13·19·21번 대비).