불곡고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

불곡고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

불곡고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료의 출제 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 여러가지부등식입니다. 거리와 분점의 좌표를 구하는 기본형부터 원의 접선·현과 부등식의 매개변수 조건까지 다룹니다.

도형 문제는 좌표를 모두 구하기보다 필요한 관계를 먼저 찾을 때 풀이가 짧아집니다. 정삼각형으로 만든 마름모의 대각선, 원의 중심에서 현에 내린 수선, 공통접선으로 생기는 닮음이 그 예입니다. 그림에 관계를 표시한 다음 거리 공식과 직선의 방정식을 적용하세요.

부등식 문제는 해를 구하는 방향과 주어진 해에서 식을 복원하는 방향이 함께 나옵니다. 모든 실수에서 성립한다는 조건을 함수의 최솟값이나 판별식으로 옮기는 연습도 필요합니다. 서술·단답형에서는 식을 세운 근거와 후보를 제한하는 조건을 함께 정리해야 합니다.

난이도 분포 — 후반에 연속된 어려움 문항

쉬움은 초반 1~6번과 10번입니다. 거리, 접선, 절댓값부등식, 수직인 직선, 원의 표준형, 외분점처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 특히 10번은 앞의 보통 문항 뒤에 배치되어 있으므로 번호가 커졌다는 이유로 풀이를 미루지 않는 것이 좋습니다.

보통 구간에서는 공식을 선택하는 판단이 더해집니다. 7번은 정삼각형의 꼭짓점을 직접 구하는 대신 마름모를 보고, 9번은 평행과 일치를 구별하며, 12번은 모든 실수라는 조건으로 일차항의 가능성을 제한합니다. 계산에 앞서 조건의 의미를 읽는 능력이 중요합니다.

15~20번은 자동 분류 기준 어려움이며 서술·단답형도 여기에 포함됩니다. 도형의 여러 관계를 이어 쓰거나 매개변수의 범위를 단계적으로 좁혀야 합니다. 이 분포는 자동 분류 결과이므로 실제 응시자의 체감 난도나 문항 간 순위를 뜻하지는 않습니다.

출제 단원 — 원의방정식과 부등식의 조건 해석

원의방정식은 중심과 반지름을 읽는 기본형에서 접선과 현을 이용하는 복합형까지 이어집니다. 13번의 접선과 닮음, 16번의 공통접선, 17·19번의 현은 원의 식만 외워서는 접근이 늦어질 수 있습니다. 중심에서 수선을 내렸을 때 생기는 직각삼각형을 찾는 연습을 우선하세요.

여러가지부등식은 절댓값의 범위 변환, 주어진 해로부터 계수 관계 복원, 항상 성립하는 조건, 정수해의 개수를 다룹니다. 특히 18번은 후보 정수마다 매개변수 조건을 구해 겹치는 구간을 확인하고, 20번은 해의 구간과 판별식 조건을 연결해야 합니다.

평면좌표와 직선의방정식도 후반 원 문제를 푸는 도구입니다. 외분점·중점·무게중심은 좌표의 합을 정리하는 데 쓰이고, 수직 관계와 점과 직선 사이의 거리는 접선과 현의 조건을 식으로 만듭니다. 단원별 복습 뒤에는 이 도구들을 원 문제에 적용해 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 원 단원의 확대

작년과 올해 모두 수학(상) 자료입니다. 총 문항은 22문항에서 20문항으로 줄었고 서술·단답형은 2문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 4문항에서 6문항으로 늘었습니다. 문항 수가 줄었다고 후반 풀이 부담까지 줄었다고 보기는 어렵습니다.

작년에는 직선의방정식과 여러가지부등식이 각각 6문항으로 가장 많았습니다. 올해는 원의방정식이 작년 5문항에서 9문항으로 늘어 가장 큰 비중을 차지합니다. 직선의방정식은 6문항에서 2문항으로 줄었지만, 수직 관계와 거리 계산은 원 문제를 해결하는 기초로 계속 연습할 필요가 있습니다.

작년 어려움 문항은 16·17·19·20번이었고 서술·단답형 21·22번은 보통이었습니다. 올해는 15~20번에 어려움이 이어지며 서술·단답형까지 포함됩니다. 다음 시험 준비에서는 후반 객관식과 서술형을 이어 푸는 연습을 하고, 원의 현·접선과 부등식의 조건 해석에 풀이 근거를 붙여 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표에 따른 순위가 아닙니다. 공통적으로 주어진 조건을 바로 계산에 넣기보다 닮음, 구간, 판별식이라는 중간 관계로 바꾸어야 합니다. 연습할 때는 첫 식을 쓰기 전에 어떤 조건을 어떤 관계로 옮길지 짧게 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 정확히 처리하고 10번까지 포함해 접근 가능한 문항을 확보하세요. 7·9번에서 판단이 오래 걸리면 표시하고 넘어간 뒤 돌아오는 연습이 좋습니다. 전체 시험 시간이 자료에 없으므로 분 단위 배분을 고정하기보다 구간별 실제 풀이 시간을 기록해 조정하세요.

15~18번을 모두 해결한 뒤에야 서술·단답형을 읽으면 마지막 조건 정리에 쓸 시간이 부족할 수 있습니다. 19·20번도 먼저 훑고 출발식이 보이는 문제부터 진행하세요. 19번에서는 접선·현의 거리 관계를, 20번에서는 해 구간 복원과 판별식 조건을 각각 분리해 적으면 풀이의 연결을 확인하기 쉽습니다.

검토할 때는 전체 계산을 반복하기보다 조건 누락을 먼저 찾으세요. 6·14번은 외분 비율, 9번은 나누는 계수와 두 직선의 일치 여부, 11·20번은 부등호 방향이 핵심입니다. 17·19번에서는 현의 절반 길이와 반지름을 구별하고, 18번에서는 구간 끝점을 다시 대입해 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리와 분점 공식부터 정리하세요. 외분점이 축 위에 있다는 조건을 좌표 성분으로 옮겨 보세요(1·6번 대비).
2. 직선의 수직·평행과 예외 조건을 연습하세요. 계수로 나누기 전 확인할 경우를 적으세요(4·9번 대비).
3. 원의 일반형·표준형과 지름 조건을 연결하세요. 중심, 반지름, 접점의 역할을 그림으로 표시하세요(2·5·8·10번 대비).
4. 마름모·무게중심·닮음으로 필요한 좌표 관계만 구하세요. 모든 점의 좌표를 계산하는 습관을 줄여 보세요(7·13·14·16번 대비).
5. 원의 현과 접선을 묶어 복습하세요. 중심에서 수선을 내리고 직각삼각형을 만든 근거를 설명하세요(15·17·19번 대비).
6. 부등식의 해에서 식을 복원하고 정수해와 항상 성립하는 조건으로 확장하세요. 수직선의 끝점과 판별식 조건을 함께 검토하세요(3·11·12·18·20번 대비).