양천고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

양천고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

양천고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동입니다. 방정식과 부등식의 대수적 판단에 좌표도형의 거리와 위치 관계가 이어집니다.

초반에는 허근의 대입, 직선의 평행 조건, 원의 완전제곱식 변형처럼 출발 방법이 분명한 문제가 배치되어 있습니다. 중반부터는 내분점의 사분면 조건, 거리의 차의 최댓값, 외접원과 삼각형 넓이처럼 식을 세우기 전 도형의 의미를 읽어야 하는 문항이 등장합니다.

후반에서는 익숙한 공식을 적용한 다음의 검토가 중요합니다. 삼차방정식은 고정된 근과 나머지 근의 관계를, 자취는 필요조건으로 얻은 도형이 실제로 모두 만들어지는지를 확인해야 합니다. 서술·단답형에서도 최종 계산에 앞서 조건을 선택한 이유를 짧게 정리하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 모인 조건 해석

쉬움 문항은 초반과 서술·단답형의 시작인 19번에 있습니다. 공식에 대입하는 과정에서도 내분과 외분의 부호, 원의 중심 좌표의 부호를 정확히 처리해야 합니다. 초반에서 확보한 시간을 후반의 경우 나누기에 쓸 수 있도록 기본형의 계산을 안정시키세요.

보통 문항은 2번과 7~14번, 20~22번, 24번입니다. 14번은 직선의 정점과 수직 관계를 외접원에 연결하고, 24번은 판별식과 축의 위치, 경계의 함숫값을 함께 점검합니다. 분류가 보통이어도 여러 개념을 연결하는 과정에서 시간이 걸릴 수 있습니다.

어려움은 15~18번에서 연속해서 등장한 뒤 23번에 다시 배치됩니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 다만 이 구간은 근의 중복, 자취의 제외점, 교점 수의 변화처럼 계산만으로 놓치기 쉬운 조건을 다룬다는 공통점이 있습니다.

출제 단원 — 방정식과 좌표도형을 함께 준비

여러가지방정식은 허근의 성질, 복이차방정식의 실근 개수, 삼차방정식의 근 판단, 연립방정식까지 다룹니다. 특히 7번에서 켤레근의 합과 곱을 익힌 뒤 17번에서 이를 다항식의 인수 구성으로 확장하는 학습 흐름이 유용합니다. 근을 직접 구하기 전에 필요한 대칭식을 찾는 연습을 하세요.

직선과 원에서는 거리 공식이 여러 형태로 연결됩니다. 14번은 삼각형의 높이로, 18번은 원과 직선의 교점 수를 나누는 기준으로, 20번은 현과 반지름의 관계로 사용됩니다. 공식을 외우는 데서 그치지 말고 어떤 점에서 어떤 직선까지의 거리인지 그림에 표시해야 합니다.

부등식과 평면좌표는 경계 처리가 중심입니다. 9번의 사분면 조건은 좌표의 부호를 동시에 제한하고, 22번은 연립부등식의 공통 범위에서 정수해를 골라냅니다. 도형의이동으로 분류된 12번도 거리의 합과 차를 구별해야 하므로, 단원 이름만 보고 풀이 방법을 정하지 마세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 일반적인 경우를 정리한 뒤 경계나 예외를 다시 확인해야 한다는 것입니다. 풀이의 마지막에 중복, 제외점, 등호 조건을 확인하는 칸을 남겨 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 기본형을 먼저 처리하세요. 15~18번에서 연속해서 막히면 표시하고 서술·단답형을 확인하는 것이 좋습니다. 19번은 원의 성립 조건, 21번은 공통해를 이용하는 유형이므로 객관식 후반을 모두 끝낸 뒤에만 풀겠다는 순서를 고집할 필요가 없습니다.

도형 문제는 그림에 관계를 표시하는 시간을 확보하세요. 12번은 거리의 차가 최대가 되는 점의 위치, 14번은 외접원의 지름, 20번은 현의 중점과 수선을 먼저 표시하면 식이 단순해집니다. 23번에서는 좌표를 여러 개 독립적으로 두기 전에 대칭 관계로 미지수를 줄이는 것이 계산 부담을 낮춥니다.

검토 시간에는 부등호와 허용 범위를 우선 확인하세요. 9번은 좌표축 위의 점을 사분면에 포함하지 않는지, 19번은 반지름이 사라지는 경계를 제외했는지 살피세요. 22번은 정수해의 누락과 추가를 함께 검사하고, 24번은 서로 다른 실근 조건과 경계의 근을 허용하는 조건을 구별해 적어야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 직선의 식과 원의 표준형을 복습하세요. 평행과 일치, 중심과 반지름을 구별하는 확인 절차까지 익히세요(3·4·5·19번 대비).
2. 내분과 외분은 좌표 계산과 선분 위의 점 순서를 함께 연습하세요. 분할비를 그림으로 바꾸고 사분면 조건까지 연결하세요(6·9·13번 대비).
3. 허근과 켤레근의 합과 곱을 정리하세요. 거듭제곱을 이차식으로 줄이는 연습에서 다항식의 인수를 구성하는 문제로 확장하세요(1·7·17번 대비).
4. 방정식은 인수분해 후 실근의 존재, 부호, 중복을 구별하세요. 공통해를 다른 조건에 대입하는 검토도 묶어서 연습하세요(10·15·21번 대비).
5. 부등식은 수직선에 경계를 표시한 뒤 공통 범위를 구하세요. 정수해 조건과 근의 분리에서는 등호의 포함 이유를 말로 설명해 보세요(2·8·22·24번 대비).
6. 좌표도형은 거리 공식의 사용 목적을 먼저 적으세요. 거리의 차, 높이, 현, 자취, 교점 수를 구별해 접근법을 선택하세요(12·14·16·18·20·23번 대비).