동덕여자고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

동덕여고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

동덕여자고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 부등식의 해석과 좌표를 이용한 도형 풀이가 시험 준비의 중심입니다.

초반에는 연립부등식, 두 점 사이의 거리, 점과 직선 사이의 거리 등 기본 개념을 직접 적용합니다. 이후에는 외분점과 삼각형의 넓이, 움직이는 점과 직선 사이의 거리, 도형의 조건으로 정해지는 자취처럼 개념을 연결하는 과정이 필요합니다.

서술·단답형은 모두 고난도로 분류된 구성이 아닙니다. 자동 분류 기준 보통인 18~22번에서도 각의 이등분선, 축에 접하는 원, 정점을 지나는 직선, 부등식의 항상 성립 조건을 설명해야 합니다. 풀이의 근거를 짧게 정리하는 연습이 실전에서 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본 계산 이후 도형 해석이 관건

쉬움 문항은 객관식 앞부분에 배치돼 있습니다. 다만 4번은 내분·외분과 거리의 절댓값을 함께 다루고, 7번은 그래프의 위치 관계를 부등식으로 옮겨야 합니다. 번호가 앞에 있다는 이유로 조건 확인을 생략하면 안 됩니다.

보통 문항이 가장 큰 비중을 차지합니다. 10·14번은 구간이나 정수해의 경계를, 19·22번은 접한다는 조건을 정확하게 처리해야 합니다. 어려움 문항에만 집중하기보다 이런 문항에서 풀이를 완결하는 것이 우선입니다.

12번에서는 넓이의 최대를 거리의 최대 문제로 바꿉니다. 16·17번은 자취 또는 기울기에 따른 도형 관계를 해석해야 하며, 23번은 무게중심의 성질을 거리 조건으로 연결합니다. 자동 분류 기준의 어려움은 실제 응시 결과를 뜻하지 않지만, 복습에서 연결 과정을 점검할 문항을 고르는 데 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 고른 비중 속 직선 단원의 고난도 집중

여러가지부등식·평면좌표·직선의방정식의 문항 수가 같습니다. 부등식은 일차부등식의 공통부분에서 출발해 절댓값의 구간 분할과 이차부등식의 항상 성립 조건까지 이어집니다. 해를 구하는 절차와 해의 조건으로 계수를 정하는 절차를 함께 익혀야 합니다.

직선의방정식에는 자동 분류 기준 어려움인 12·17·23번이 포함됩니다. 점과 직선 사이의 거리 공식은 3번의 직접 계산뿐 아니라 넓이의 최대, 무게중심과 높이의 관계에도 쓰입니다. 공식을 언제 활용할지 판단하는 연습이 필요합니다.

평면좌표는 내분·외분·무게중심을 중심으로 거리와 넓이를 연결합니다. 원의방정식은 현의 길이, 접선, 축에 접하는 원, 자취까지 다룹니다. 단원 이름은 달라도 거리나 비율을 식으로 표현하는 기초가 서로 이어집니다.

문항별 정리

아래 난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 문제의 수치와 정답 대신 필요한 개념과 확인할 조건을 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 어려움 증가와 배치 변화

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 늘었지만 쉬움 문항도 늘었습니다. 따라서 전체 문항이 일괄적으로 어려워졌다고 보기보다, 기본 문항을 빠르게 풀고 응용 문항에 시간을 쓰는 운영이 더 필요해졌다고 해석할 수 있습니다.

작년은 평면좌표가 6문항이고 나머지 단원이 각각 5문항이었습니다. 올해는 여러가지부등식과 직선의방정식도 각각 6문항으로 늘고 원의방정식은 5문항을 유지했습니다. 단원 비중은 여전히 고른 편이므로 어느 한 단원을 생략하는 대비는 적절하지 않습니다.

작년의 어려움 문항은 여러가지부등식 12번이었지만, 올해는 직선의방정식 12·17·23번과 원의방정식 16번으로 바뀌었습니다. 마지막 서술·단답형에도 어려움 문항이 있으므로, 다음 시험 대비에서는 도형 조건을 거리와 넓이의 식으로 설명하는 연습까지 해 두세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위를 확인한 문항이 아니라 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 도형의 조건을 계산 가능한 대상으로 바꾸는 과정이 먼저라는 것입니다. 복습할 때에는 전개식보다 그 전환을 선택한 이유를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·3·5·6·8번의 기본 계산을 정확히 마치고, 나머지 문항은 조건을 식으로 바꾸는 출발점이 보이는지 판단하세요. 12번이나 16·17번에서 방향이 잡히지 않으면 표시하고 넘어가 서술·단답형에 접근할 시간을 확보하는 편이 좋습니다.

18~22번은 자동 분류 기준 보통이므로 마지막에 몰아서 처리하지 마세요. 조건식과 적용 이유를 먼저 적으면 풀이가 정리됩니다. 20번의 정점과 수직 관계, 21번의 계수 부호와 판별식, 22번의 서로 다른 접선 조건을 빠뜨리지 않는 것이 중요합니다.

검산은 같은 계산을 반복하기보다 조건을 다시 읽는 데 집중하세요. 4번의 양수 조건, 10번의 구간별 해, 14번의 정수 포함 경계, 19번의 양의 반지름, 23번의 양의 기울기를 확인하세요. 특히 절댓값을 없애거나 양변을 제곱한 뒤에는 원래 조건과 맞는지 되돌아보아야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리 공식을 안정적으로 적용하세요. 좌표 차의 부호, 직선의 일반형, 현의 절반 길이를 구별하며 기본 계산을 정리합니다(2·3·5·6번 대비).
2. 부등식을 수직선과 그래프로 옮기세요. 공통부분과 경계의 등호를 확인하고 절댓값의 구간 분할에서 정수해 개수 조건까지 연결합니다(1·7·8·10·14·21번 대비).
3. 내분·외분과 삼각형의 중심을 구별하세요. 외심은 같은 거리, 무게중심은 좌표의 합, 각의 이등분선은 변의 길이 비로 정리합니다(4·9·11·15·18번 대비).
4. 원의 접선 조건을 상황별로 선택하세요. 접점 공식, 축까지의 거리, 중심과 직선 사이의 거리, 포물선의 판별식을 구별해 연습합니다(13·19·22번 대비).
5. 넓이와 거리의 최대 문제에서는 고정된 대상을 먼저 표시하세요. 기울기에 따른 위치를 그림에 표시한 뒤 필요한 식만 세우는 연습을 합니다(12·17·20번 대비).
6. 도형 성질을 다른 개념으로 바꾸는 이유를 설명하세요. 중점 연결에서 자취를 찾고, 무게중심의 비율을 높이의 비율로 옮기는 과정을 직접 써 보세요(16·23번 대비).