돌마고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

돌마고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

돌마고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 회차의 출제 범위는 다항식의 연산과 곱셈 공식, 항등식과 나머지정리, 복소수, 이차방정식, 이차함수, 삼차방정식의 근과 계수의 관계까지 이어집니다. 단원별 기본 계산과 이를 결합한 조건 해석을 함께 준비해야 합니다.

초반에는 동류항 정리, 복소수의 상등, 조립제법처럼 풀이 절차가 비교적 분명한 문항이 놓였습니다. 이후에는 같은 항등식 단원에서도 단순 계수 비교를 넘어 나눗셈의 구조를 새로 세워야 합니다. 기본 개념을 알고 있는지와 그 개념을 낯선 표현에 적용할 수 있는지가 함께 드러나는 구성입니다.

마지막 서술·단답형은 다항식과 이차함수에서 출제됐으며 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 자연수 조건으로 가능한 경우를 줄이는 과정과 함수의 방향에 따라 최솟값의 위치를 정하는 과정을 답안으로 설명해야 합니다. 객관식 후반을 풀다가 서술형 작성 시간을 놓치지 않도록 운영하세요.

난이도 분포 — 초반 기본 계산, 후반 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 35%, 보통은 20%, 어려움은 45%입니다. 1~6번과 8번에서 기본 연산과 공식을 안정적으로 처리하면 후반에 쓸 시간을 마련할 수 있습니다. 다만 쉬움으로 분류됐더라도 조립제법의 부호나 판별식 부등호를 잘못 쓰면 풀이 전체가 어긋납니다.

7·9·10·13번은 보통으로 분류됐습니다. 계수 비교, 항상 중근을 갖는 조건, 근과 계수의 관계, 인수정리 등 익숙한 개념에서 출발하지만 조건을 한 차례 더 가공해야 합니다. 특히 13번은 주어진 함수값에서 공통된 일차식의 형태를 찾으면 식을 간결하게 만들 수 있습니다.

11·12번에서 나머지 조건의 결합과 도형의 넓이 해석이 등장하고, 14번 이후에는 어려움 문항이 이어집니다. 난이도 분류는 실제 풀이 시간과 같지 않으므로, 각 문항의 첫 식을 세울 수 있는지 보고 진행 여부를 판단하세요. 접근 방향 없이 전개만 길어지는 문항은 다시 돌아올 대상으로 표시하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 항등식과 나머지정리에 집중

항등식은 기본적인 치환과 계수 비교부터 인수정리, 여러 나머지 조건의 결합, 고차식의 나머지 처리까지 폭이 넓습니다. 단원 이름이 같다고 같은 풀이를 적용하기보다, 계수를 비교할지 특정 값을 대입할지 나머지를 낮은 차수로 둘지 먼저 선택해야 합니다.

다항식에서는 앞부분의 연산·조립제법과 마지막 곱셈 공식 활용의 간격이 큽니다. 복소수 역시 상등과 켤레복소수 계산에서 시작하지만 14번에서는 실수가 되는 조건을 켤레 관계로 바꾸어야 합니다. 기본 유형을 끝낸 뒤 조건이 추가된 문제로 넘어가는 학습이 필요합니다.

이차함수는 교점 유무, 도형 넓이를 이용한 최소, 제한된 범위의 최소로 출제됐습니다. 같은 최대·최소 개념이라도 먼저 만들어야 하는 식이 다릅니다. 이차방정식과 삼차방정식은 근을 직접 구하는 계산보다 근의 합과 곱으로 필요한 관계를 구성하는 연습에 초점을 맞추세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 식을 계산하기 전에 가능한 형태를 제한해야 한다는 공통점이 있습니다. 차수·정수성·부호 중 무엇이 경우를 나누는 기준인지 먼저 밝히세요. 이들은 자동 분류와 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 난이도 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본 계산을 정확하게 마치고, 보통 문항에서 조건을 식으로 바꾸는 데 집중하세요. 복소수의 부호나 조립제법을 여러 번 다시 계산하기보다 짧은 검산으로 끝내는 습관이 필요합니다. 연습할 때는 계산 실수와 접근 실패를 구분해 기록하면 어느 구간의 시간을 줄여야 할지 알 수 있습니다.

11·12번부터는 식을 세우는 시간이 길어질 수 있습니다. 나머지의 형태나 넓이 관계를 적었는데도 다음 단계가 보이지 않으면 표시하고 진행하세요. 특히 14~18번에 머무는 동안 서술형 작성 시간이 줄어들 수 있으므로, 19·20번의 조건을 미리 살펴 접근 가능한 문항부터 시작하는 운영을 권합니다.

마지막 검토에서는 8번의 교점 조건, 9번의 모든 매개변수에 대한 조건, 16번의 나머지 차수를 확인하세요. 19번은 자연수와 대소 관계, 20번은 이차함수의 계수가 영이 아니라는 조건과 부호별 후보 검토가 중요합니다. 서술형은 경우를 나눈 기준과 후보를 제외한 이유가 답안에 남아 있는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 계산을 정리하세요. 복소수의 실수부분·허수부분 구분, 동류항 계산, 조립제법을 짧은 풀이와 검산으로 마무리하는 연습부터 하세요(1·2·4·5번 대비).
2. 치환과 계수 비교를 연결하세요. 기준이 되는 일차식으로 문자를 바꾸거나 비교하기 쉬운 항부터 미정계수를 결정해 보세요(3·7번 대비).
3. 근과 계수의 관계를 합과 곱의 언어로 정리하세요. 교점 유무와 항상 중근인 조건은 판별식을 세운 뒤 조건의 범위를 따로 확인하세요(6·8·9·10번 대비).
4. 항등식의 구조를 먼저 고르는 훈련을 하세요. 함수값에서 인수를 찾는 방법, 여러 나머지 조건을 결합하는 방법, 차수로 식을 제한하는 방법을 구분하세요(11·13·16번 대비).
5. 고차식의 나머지를 낮은 차수로 바꾸세요. 치환과 거듭제곱의 반복 규칙을 사용하고, 나누어떨어지는 조건은 나머지 전체에 적용하세요(15·17·18번 대비).
6. 조건을 이용한 증명을 써 보세요. 켤레와 실수 조건의 연결, 곱셈 공식 뒤 정수성과 대소 관계를 쓰는 이유를 문장으로 남기세요(14·19번 대비).
7. 최대·최소 문제는 식을 만드는 단계와 범위를 검토하는 단계를 함께 연습하세요. 도형의 넓이를 표현하고 축·구간·함수의 방향에 따라 후보를 점검하세요(12·20번 대비).