돌마고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

돌마고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

돌마고등학교는 성남시에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수, 여러가지방정식입니다. 다항식 계산에서 출발해 방정식의 작성과 도형의 해석까지 연결되므로, 공식 암기만으로 범위 전체를 대비하기는 어렵습니다.

초반에는 복소수의 계산, 나머지정리, 동류항 정리 등 기본 개념을 바로 적용하는 문제가 놓여 있습니다. 중반에는 켤레근, 교점 조건, 연립방정식처럼 익숙한 개념을 다른 표현으로 읽어 내야 합니다. 식이 길어 보이는지보다 주어진 조건을 어떤 관계식으로 바꾸는지가 풀이의 출발점입니다.

서술·단답형은 19번의 공통부분 치환과 20번의 입체도형 활용으로 구성됩니다. 객관식을 끝낸 뒤 남는 시간에만 처리하려 하면 식을 정리할 여유가 부족할 수 있습니다. 특히 후반부에서는 답을 얻는 계산과 조건을 충족하는지 확인하는 과정을 함께 준비하세요.

난이도 분포 — 보통 문항을 확보하고 후반 고난도에 대비

쉬움 구간은 1·2·3·4·6·7번입니다. 사칙연산과 나머지정리처럼 풀이 방향을 바로 잡을 수 있는 내용이 중심입니다. 다만 5번이 보통으로 끼어 있으므로, 초반이라는 이유만으로 모든 문제를 같은 속도로 밀어붙이기보다 음수의 제곱근처럼 주의할 개념을 구별해야 합니다.

보통 구간에서는 하나의 공식을 적용한 뒤 다른 조건을 확인하는 과정이 반복됩니다. 8번의 교점 조건, 9번의 공통해와 부호 조건, 14번의 나머지정리와 중근 조건이 대표적입니다. 첫 식을 바르게 세워도 마지막 조건을 빼먹으면 풀이가 완성되지 않습니다.

자동 분류 기준 어려움은 후반의 16·18·20번이며, 그 사이 17번과 19번은 보통입니다. 앞 문항에서 막혔다고 다음 문항도 같은 수준일 것으로 판단할 필요는 없습니다. 풀 수 있는 문항을 먼저 확보하고 고난도 문항에 돌아오는 순서를 연습하세요.

출제 단원 — 항등식 중심, 방정식과 함수의 연결

항등식은 기본 나머지 계산부터 식의 형태를 추론하는 문제까지 폭이 넓습니다. 2번의 대입, 4번의 계수 비교를 기초로 13·14번의 조건 결합, 16번의 차수 판단까지 단계적으로 복습하는 편이 좋습니다. 많이 나온 단원을 준비한다는 것은 같은 나머지 계산만 반복한다는 뜻이 아닙니다.

여러가지방정식에서는 연립방정식, 사차방정식, 삼차방정식 활용이 함께 나옵니다. 주어진 근을 활용해 차수를 낮추는 계산뿐 아니라, 도형 조건으로 방정식을 만드는 능력이 필요합니다. 15번의 길이 범위 확인을 20번의 입체도형 해석과 연결해 연습하세요.

이차함수는 교점, 삼각형의 넓이, 제한된 범위의 최댓값으로 서로 다른 모습을 보입니다. 복소수와 이차방정식도 켤레근과 근과 계수의 관계를 통해 연결됩니다. 단원별 문제를 푼 뒤에는 같은 개념이 다른 단원에서 쓰이는 지점을 표시해 두세요.

문항별 정리

난이도 표시는 자동 분류 기준입니다. 각 문항의 핵심 발상과 확인할 조건을 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 어려움 비중 감소, 여러가지방정식 확대

작년과 올해 모두 수학(상)이며 전체 문항 수와 서술·단답형 구성은 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 9문항에서 올해 3문항으로 줄었고, 보통은 4문항에서 11문항으로 늘었습니다. 이 분포에서는 보통 문항의 조건 해석을 안정적으로 처리하는 연습이 특히 중요합니다.

항등식은 작년 8문항, 올해 5문항으로 여전히 가장 많습니다. 여러가지방정식은 작년 1문항에서 올해 4문항으로 늘었고, 복소수는 작년 3문항에서 올해 2문항으로 줄었습니다. 항등식을 우선하되 삼차·사차방정식과 연립방정식의 준비도 함께 확대할 근거가 됩니다.

작년 어려움은 11·12·14·15·16·17·18·19·20번에 걸쳐 있었지만 올해는 16·18·20번에 놓였습니다. 올해는 19번이 자동 분류 기준 보통이므로 앞의 고난도 문항에 막혀 서술·단답형 전체를 미루지 않는 운영이 좋습니다. 다음 시험 대비에서는 기본 개념 확인 후 조건을 결합하는 문제로 넘어가세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하는 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 중간 구조를 만들어야 한다는 점입니다. 나눗셈의 차수 관계, 구간별 함수, 전개도를 먼저 적어 보면 이후 계산의 목적이 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 연산과 직접 적용이 가능한 문항을 안정적으로 처리하세요. 16번에서 식의 역할이 정리되지 않으면 표시하고 17번과 19번처럼 접근 가능한 문제를 먼저 살피는 방법이 좋습니다. 실제 제한 시간은 자료에 없으므로 연습할 때 자신의 풀이 시간을 기록해 후반부에 남길 시간을 정하세요.

부호와 범위를 확인하는 검토 시간을 따로 두세요. 5번은 음수의 제곱근, 8번은 교점 조건의 등호, 9번은 계수의 양수 조건, 15번은 상자의 길이 범위가 핵심입니다. 계산이 끝나면 처음 적은 조건으로 돌아가 후보를 다시 확인하는 습관을 들이세요.

19·20번은 식을 세우는 근거를 정리할 시간을 확보하세요. 19번은 인수를 다시 묶은 이유와 완전제곱 조건을, 20번은 모서리 조건을 방정식으로 옮긴 과정과 전개도 비교를 순서대로 쓰는 연습이 필요합니다. 마지막 검토에서는 치환을 되돌렸는지와 도형에 맞는 길이를 비교했는지를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 계산부터 점검하세요. 복소수의 실수부분·허수부분 정리, 괄호 전개, 곱셈공식 변형을 짧은 풀이로 정확히 처리합니다(1·3·6번 대비).
2. 항등식 조건을 식의 형태로 옮기세요. 대입과 계수 비교를 익힌 뒤 나머지의 차수 제한까지 설명하는 연습을 합니다(2·4·13·14·16번 대비).
3. 근과 계수의 관계를 연결하세요. 켤레근, 이동된 근, 잘못 읽은 계수에서 유지되는 비를 구분하고 부호를 확인합니다(5·7·10·17번 대비).
4. 함수 문제는 그림과 식을 함께 쓰세요. 교점 조건과 완전제곱꼴을 복습한 뒤 움직이는 구간에서 끝점을 비교하는 문제로 확장합니다(8·12·18번 대비).
5. 활용 문제에서는 범위를 먼저 적으세요. 공통해의 후보와 길이 조건을 확인하고, 입체 조건을 대칭식과 삼차방정식으로 옮깁니다(9·15·20번 대비).
6. 서술·단답형은 풀이 구조까지 연습하세요. 공통부분을 만드는 인수의 재배열과 전개도를 활용한 경로 비교를 직접 설명한 뒤, 전체 시험을 시간을 재며 풉니다(19·20번 대비).