돌마고등학교
2024년 1학년 1학기 중간고사

돌마고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

돌마고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수입니다. 다항식의 계산과 나눗셈에서 출발해 복소수의 성질, 방정식의 근, 그래프의 교점과 최대·최소까지 연결됩니다.

시험의 중심은 개념을 알고 있는 상태에서 알맞은 계산 형태를 고르는 데 있습니다. 큰 수의 거듭제곱은 곱셈 공식으로, 복소수의 거듭제곱은 켤레 관계와 주기로, 교점 조건은 이차방정식으로 바꾸어 처리합니다. 처음부터 모두 전개하면 계산량이 늘고 부호 실수도 생기기 쉽습니다.

객관식 후반의 자동 분류 기준 어려움 문항과 마지막 서술·단답형을 구별해 볼 필요가 있습니다. 21·22번은 보통으로 분류되어 있어 후반 객관식에서 오래 멈추기보다 먼저 살펴볼 만합니다. 다만 서술에서는 몫과 나머지의 구별, 매개변수의 경우 분류를 풀이에 드러내야 합니다.

난이도 분포 — 보통 문항의 정확성과 객관식 후반의 조건 처리

쉬움은 1~3번으로, 복소수의 분모 실수화와 상등, 다항식의 연산과 나눗셈을 확인합니다. 초반에는 계산 과정을 간결하게 쓰되 뺄셈의 부호와 나머지의 차수를 확인하세요. 기본 문항을 빨리 푸는 것만큼 검산 가능한 형태로 정리하는 것이 중요합니다.

보통은 4~17번과 21·22번입니다. 13번은 여러 인수분해 구조를 구별해야 하고, 15번은 근의 조건을 정한 뒤 구간별 최대·최소와 교점을 각각 판단합니다. 자동 분류 기준 보통이라는 이유로 모두 같은 분량의 계산을 예상하지 말고, 필요한 판단을 순서대로 나누어 접근하세요.

어려움은 18·19·20번으로 이어집니다. 각각 복소수 조건의 예외, 도형에서 얻은 변수의 범위, 나머지의 차수 제한을 다루므로 시작 조건을 잘못 잡으면 계산 전체가 흔들릴 수 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 다항식과 이차함수를 중심으로 한 구조 해석

다항식은 연산, 나눗셈, 인수분해, 공식 변형, 부피의 해석을 고르게 다룹니다. 4번의 인수정리와 조립제법, 13번의 공통부분 치환, 17번의 부피 관계처럼 같은 단원 안에서도 출발점이 다릅니다. 식을 보고 공통인수나 반복되는 부분을 먼저 찾는 연습이 효과적입니다.

이차함수는 교점과 최대·최소가 연결됩니다. 7·12·14번에서는 그래프 조건을 방정식의 근으로 옮기고, 15·22번에서는 축과 구간 끝점의 위치를 확인합니다. 19번은 도형 관계로 거리의 제곱합을 이차식으로 만드는 단계가 추가되므로, 함수식이 처음부터 주어진 유형과 함께 준비하세요.

복소수는 사칙연산에 머물지 않고 실수가 되는 조건, 켤레 관계, 허수단위의 주기로 이어집니다. 항등식도 계수 비교뿐 아니라 정수의 나머지와 다항식 나눗셈의 구조까지 묻습니다. 이차방정식은 단원 분류상 8번이지만 근과 계수의 관계는 이차함수 문항에서도 활용됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움의 수는 같고 배치와 단원 구성이 변화

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같지만, 쉬움은 줄고 보통은 늘었습니다. 어려움 문항 수만 보고 준비 부담이 같다고 판단하기보다, 중간 단계에서 식의 변형과 조건 확인을 안정적으로 이어 갈 수 있는지 점검할 필요가 있습니다.

작년에는 항등식이 가장 많았고, 올해는 다항식과 이차함수가 공동으로 가장 많습니다. 다항식은 작년 3문항에서 올해 6문항, 이차함수도 3문항에서 6문항으로 늘었습니다. 복소수는 2문항에서 5문항으로 늘어, 연산에서 조건 해석으로 확장하는 연습의 중요성이 드러납니다.

어려움의 위치도 작년 16·18·20번에서 올해 18·19·20번으로 바뀌었습니다. 작년에는 서술·단답형 20번이 어려움이었지만 올해 서술·단답형 21·22번은 보통입니다. 다음 시험을 준비할 때는 다항식의 구조 변형과 이차함수의 구간 판단을 우선 복습하고, 어려운 객관식에 머무르다 서술 기회를 놓치지 않는 운영도 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 가능한 경우와 변수의 범위를 정해야 한다는 것입니다. 풀이를 시작할 때 경우를 나누는 기준을 적고, 계산 후 처음 조건으로 돌아와 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 연산과 접근법이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 13번처럼 여러 구조를 살피는 문제에서 전개가 길어지면 표시해 두고 다음 문항으로 넘어가는 연습이 좋습니다. 18~20번을 모두 마친 뒤 서술형을 시작하기보다 21·22번의 접근 가능성도 먼저 확인하세요.

서술·단답형에 쓸 시간은 풀이와 근거 정리를 함께 고려해 남겨 두세요. 21번은 나누는 식이 바뀌면서 몫이 어떻게 조정되는지, 22번은 매개변수의 각 경우에서 왜 해당 끝점을 택하는지 설명해야 합니다. 연습에서는 결과만 비교하지 말고 그 결론을 뒷받침하는 식과 문장이 있는지 점검하세요.

마지막 검토에서는 5번의 중복 후보, 11번의 정수 나머지 범위, 16번의 양의 실수 조건을 확인하세요. 18번은 영인 근의 포함 여부, 19번은 점의 이동 범위, 20번은 나머지의 차수가 핵심입니다. 모든 계산을 다시 하기보다 처음에 표시한 조건이 끝까지 반영되었는지 확인하는 방식이 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 덧셈·뺄셈과 나눗셈을 복습하고, 부호와 나머지의 차수를 검산하세요. 기본 연산을 짧고 정확하게 정리하는 연습부터 시작하세요(2·3번 대비).
2. 인수정리와 조립제법에서 공통부분 치환과 곱셈 공식 변형으로 확장하세요. 전개 전에 공통 구조를 표시하고 도형의 부피식에도 적용하세요(4·9·13·17번 대비).
3. 복소수는 켤레, 실수부·허수부 조건, 거듭제곱의 주기를 나누어 복습하세요. 중복 후보와 영인 경우, 양수 조건을 따로 확인하세요(1·5·6·16·18번 대비).
4. 근과 계수의 관계로 분수식과 교점 조건을 정리하세요. 직접 근을 구하지 않고도 필요한 합과 곱으로 표현할 수 있는지 살펴보세요(8·12·14·15번 대비).
5. 이차함수는 축과 구간을 그린 뒤 최대·최소를 판단하세요. 도형에서 변수를 정해 함수식을 만드는 유형까지 연결하세요(7·15·19·22번 대비).
6. 항등식과 나머지정리를 연결하고 서술형으로 마무리하세요. 제수·몫·나머지의 관계와 차수 제한을 먼저 쓰고, 조건으로 정한 후보를 모두 검토하세요(10·11·20·21번 대비).