돌마고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

돌마고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

돌마고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료의 출제 범위는 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동입니다. 부등식의 해를 구하는 계산과 좌표평면에서 도형의 관계를 해석하는 문제가 함께 출제되었습니다.

앞부분에서는 거리 공식, 원점 대칭, 직선의 평행 조건처럼 개념을 바로 적용할 수 있는지를 확인합니다. 중반부터는 각의 이등분선과 내분점, 접선과 현, 삼각형의 성립 조건을 연결합니다. 공식 하나를 외우는 것에 더해 그 공식을 쓸 수 있는 이유를 그림에서 찾아야 합니다.

후반은 도형을 대수적으로 표현하는 과정이 중요합니다. 접는 선을 같은 거리의 조건으로 바꾸거나, 이동한 곡선과 원의 거리를 중심까지의 거리로 바꾸어야 계산의 방향이 잡힙니다. 서술·단답형에서는 중심과 반지름을 정한 근거, 최솟값을 실제로 만드는 조건까지 적는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본형을 확보한 뒤 후반의 조건 연결

1~7번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 점의 좌표와 직선의 식을 정확히 다루면 풀이가 짧아지는 구간입니다. 다만 연립부등식에서 음수로 나눌 때의 부등호, 평행이동한 도형의 식에 대입하는 부호는 단순 계산에서도 틀리기 쉬우므로 검산 기준을 정해 두세요.

보통 구간인 8~15번과 17번에서는 풀이의 연결이 필요합니다. 수직인 직선을 세워 수선의 발을 구하고, 각의 이등분선으로 내분비를 얻으며, 부등식의 해를 삼각형 조건과 교차해야 합니다. 계산이 끝났어도 정수·자연수 조건이나 끝점 포함 여부를 다시 확인해야 합니다.

16번에서 어려움이 등장하지만 17번은 보통으로 분류되어 있습니다. 번호만 보고 뒤쪽 문제를 한꺼번에 미루지 마세요. 18번 이후에는 좌표 설정과 거리의 최적화, 접선 조건이 이어집니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 부등식의 비중과 원·이동의 후반 연결

여러가지부등식은 기본 연립일차부등식에서 해가 없는 이차부등식, 절댓값 비교, 둔각삼각형 조건, 두 함수의 차에 관한 조건으로 이어집니다. 같은 부등식 단원이라도 해를 직접 구할지, 그래프의 위치를 판단할지 먼저 결정해야 합니다. 특히 14번은 도형이 성립하는 범위를 먼저 확보해야 합니다.

원의방정식에서는 5번의 지름과 중심에서 출발해 11번의 접선과 현, 16번의 공통접선, 19번의 원 결정과 접선으로 확장됩니다. 중심에서 직선까지의 거리와 반지름의 관계를 여러 형태로 활용하는 것이 중요합니다. 접선의 식만 외우기보다 수선과 닮음이 어디에서 생기는지도 확인하세요.

평면좌표와 도형의이동은 다른 단원의 풀이 도구이기도 합니다. 10·17번의 분점과 비, 12번의 평행이동과 삼각형의 중심, 20번의 연속된 대칭이동을 함께 복습하세요. 이동 전후에 길이와 반지름이 유지된다는 사실을 활용하면 불필요한 식 전개를 줄일 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항이 줄고 뒤쪽에 모인 구성

작년과 올해 모두 수학(상)이며 총 문항과 서술·단답형 구성은 같습니다. 자동 분류 기준으로는 어려움이 8문항에서 4문항으로 줄고 쉬움과 보통이 늘었습니다. 이 변화는 분류 분포의 차이로 읽어야 하며, 실제 시험에서 점수를 얻기 쉬워졌다고 단정하는 근거는 아닙니다.

원의방정식은 작년 6문항에서 올해 4문항으로 줄었고, 여러가지부등식은 4문항에서 5문항으로 늘었습니다. 직선의방정식은 4문항으로 같고, 도형의이동은 3문항에서 4문항, 평면좌표는 2문항에서 3문항이 되었습니다. 단원 비중이 달라졌어도 원의 접선은 올해 후반의 어려움 문항과 연결되어 있어 계속 준비해야 합니다.

작년 어려움은 12~18번과 20번에 있었고 올해는 16·18·19·20번에 있습니다. 올해 19번은 작년과 달리 어려움으로 분류되었습니다. 다음 시험 대비에서는 중반의 부등식과 좌표 기본형을 안정적으로 풀고, 마지막 서술·단답형에서 접선의 예외와 거리의 최솟값을 설명하는 연습을 이어가세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 도형 조건을 계산 가능한 관계로 바꾸는 단계가 먼저 필요하다는 것입니다. 그림에 거리와 비를 표시하고, 식을 얻은 뒤에는 위치와 범위 조건으로 돌아와 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본형을 정확하게 처리하고 8~15번에서 조건을 짧게 정리하세요. 16번의 공통접선에서 접근이 떠오르지 않으면 표시한 뒤 17번을 확인하는 편이 좋습니다. 어려움 문항의 계산에 들어가기 전에 서술·단답형까지 훑고 출발할 수 있는 문제가 무엇인지 판단하세요.

19·20번을 위한 시간을 따로 남겨 두세요. 19번은 중심과 반지름을 정하는 조건을 먼저 쓰고 접선을 다루며, 수직인 접선을 기울기식에서 빠뜨리지 않아야 합니다. 20번은 이동 결과를 정리한 뒤 거리의 최소화로 넘어가세요. 이동과 최적화를 섞어 계산하면 부호 오류를 찾기 어려워집니다.

마지막 검토는 조건 누락에 집중하세요. 9번은 그래프가 축에 닿는 경우의 허용 여부, 13번은 정수와 경계, 14번은 변의 양수 조건과 삼각형 부등식을 확인해야 합니다. 18·20번에서는 계산으로 얻은 최소 조건이 실제 도형 안에서 가능한지 점검하세요. 서술에서는 최솟값의 근거와 그 값이 실현되는 이유를 함께 남기세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·중점·분점과 직선의 기본식을 복습하세요. 좌표 차이의 순서와 내분비의 대응을 그림으로 확인하세요(1·4·5·6·10·17번 대비).
2. 이동은 점의 좌표 변화와 도형의 식에 넣는 대입을 구별하세요. 평행이동부터 연속된 대칭이동까지 순서대로 정리하세요(2·7·12·20번 대비).
3. 부등식은 해구간을 수직선에 나타내고 그래프의 개형과 연결하세요. 절댓값의 제곱 가능 여부, 경계 포함, 삼각형 성립 조건을 점검하세요(3·9·13·14·15번 대비).
4. 수선과 접선은 중심에서 직선까지의 거리로 묶어 연습하세요. 현의 절반으로 만든 직각삼각형과 수직인 접선의 예외를 함께 정리하세요(8·11·19번 대비).
5. 공통접선에서는 중심과 수선의 발을 연결해 닮음을 찾아보세요. 비를 얻은 뒤 가능한 중심의 배치까지 확인하세요(16번 대비).
6. 접기와 거리의 최소화는 좌표 설정, 관계식, 허용 범위, 등호 조건 순서로 설명하세요. 넓이의 이차식과 거리 제곱의 인수분해를 각각 연습하세요(18·20번 대비).