돌마고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

돌마고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

돌마고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동, 여러가지방정식, 여러가지부등식입니다. 좌표평면의 기본 계산과 도형의 위치 관계를 중심으로 부등식의 조건 해석까지 함께 다루는 시험입니다.

초반에는 대칭이동, 두 점 사이의 거리, 내분과 외분처럼 기본 공식을 정확히 적용하는 능력을 확인합니다. 중반에는 교점을 지나는 직선과 수직 조건, 원의 접선, 매개변수가 있는 부등식으로 확장됩니다. 공식을 기억하는 것에 더해 어떤 조건을 먼저 식으로 나타낼지 결정해야 합니다.

후반에서는 도형의 모양을 대수적으로 표현한 뒤 다시 거리나 넓이로 해석하는 과정이 중요합니다. 자취를 구하는 데서 멈추지 않고 최솟값이나 최댓값을 연결하거나, 부등식의 해를 구한 뒤 정수해의 개수를 검사합니다. 중간 계산 결과가 마지막 요구 사항과 어떻게 이어지는지 의식하며 풀어야 합니다.

난이도 분포 — 후반에 집중된 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번입니다. 원점 대칭과 거리 계산부터 내분·외분, 원의 반지름 조건까지 이어집니다. 특히 3번은 좌표를 여러 차례 구하고 4번은 완전제곱으로 식을 정리해야 하므로, 쉬움 구간에서도 부호와 조건을 생략하지 않는 습관이 필요합니다.

보통은 5~11번과 19번입니다. 절댓값의 구간 분류, 직선의 정점, 접선의 기울기, 연립방정식의 대칭적 구조처럼 풀이 방향을 먼저 정해야 하는 문항이 포함됩니다. 어려움 구간에 들어가기 전 계산 시간을 줄이려면 이 접근법들을 익숙하게 만들어 두세요.

12~18번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 연속됩니다. 도형의 이동과 넓이, 자취와 최적화, 정수해의 개수처럼 여러 조건을 연결하는 부담이 있습니다. 이는 자동 분류 결과이므로 실제 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 후반에서 풀이가 길어질 가능성을 고려한 시간 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 원의방정식과 직선·부등식의 연결

원의방정식은 원의 성립 조건에서 접선, 자취, 거리의 최적화까지 폭이 넓습니다. 9번은 중심과 직선 사이의 거리를 접선 조건으로 쓰고, 14번은 평행한 접선과 도형의 성질을 연결합니다. 15·17번은 거리의 비로 얻은 자취를 원으로 해석한 뒤 다음 단계로 넘어가야 합니다.

여러가지부등식은 절댓값을 벗기는 것만으로 풀이가 끝나지 않습니다. 11번은 이차항 계수에 따라 그래프의 모양과 해의 존재 조건을 구별하고, 13·18번은 해 구간 안에 들어오는 정수를 확인합니다. 실수 범위의 해와 정수해의 개수 조건을 따로 정리하는 연습이 효과적입니다.

직선의방정식과 도형의이동은 다른 도형 개념과 함께 출제됩니다. 7번은 원의 중심 이동과 현의 길이, 12번은 대칭·평행이동과 넓이, 16·20번은 수직 관계와 교점 좌표를 연결합니다. 단원 이름만 보고 풀이를 제한하지 말고 거리, 대칭, 직각 관계를 함께 찾아보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간에 표현을 바꾸어야 합니다. 식을 더 전개하기 전에 자취, 구간, 직각처럼 다음 단계의 계산을 줄여 주는 구조가 있는지 살펴보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본 계산을 정확히 처리하고 5~11번에서 접근이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 12~18번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어지므로 한 문항의 긴 전개에 머무르면 뒤를 살펴볼 시간이 줄어듭니다. 풀이의 출발점을 적어 두고 막힌 지점을 표시한 뒤 돌아오는 방식으로 연습하세요.

서술·단답형을 마지막에 처음 읽지 않도록 하세요. 19번은 접선의 방정식과 같은 거리 조건으로 풀이 흐름을 만들 수 있습니다. 20번은 좌표 설정과 교점 계산 뒤 기하적 근거까지 적어야 하므로, 연습할 때 계산 시간뿐 아니라 설명을 정리하는 시간도 확인해 두는 것이 좋습니다.

검토할 때는 조건에 맞는지부터 확인하세요. 11번은 차수가 낮아지는 경우, 13번은 제외되는 점과 정수 조건, 18번은 경계의 포함 여부와 부등호 방향이 중요합니다. 도형에서는 12번의 이동 방향, 15·17번의 극값을 실제로 만드는 점, 19번의 절댓값 등식에서 빠진 경우가 없는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 좌표의 기본 계산을 먼저 정리하세요. 대칭이동, 거리, 내분·외분, 완전제곱에서 부호를 점검하는 연습을 하세요(1·2·3·4번 대비).
2. 직선의 교점과 수직 조건을 묶어 연습하세요. 매개변수에 따른 특별한 방향과 정점을 구분한 뒤 도형 속 교점 계산으로 확장하세요(6·8·16·20번 대비).
3. 원의 중심과 반지름을 기준으로 현과 접선을 해석하세요. 현의 절반을 쓰는 직각삼각형과 중심에서 직선까지의 거리를 비교하세요(7·9·14·19번 대비).
4. 절댓값 부등식은 부호표와 수직선을 함께 그리세요. 차수가 달라지는 경우와 끝점을 따로 확인하고 정수해 개수 조건까지 붙여 연습하세요(5·11·13·18번 대비).
5. 대칭식의 치환과 도형의 이동을 복습하세요. 합과 곱으로 계산을 줄이거나 이동 전후 영역을 대응시키는 출발점을 설명해 보세요(10·12번 대비).
6. 거리의 비로 원의 자취를 구한 뒤 최적화 문제를 풀어 보세요. 중점까지의 거리와 점에서 직선까지의 거리로 목적을 바꾸는 연습을 하세요(15·17번 대비).