늘푸른고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

늘푸른고 1학년 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

늘푸른고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 회차의 출제 내용은 다항식과 항등식, 복소수, 이차방정식과 이차함수, 여러가지방정식, 여러가지부등식입니다. 객관식에서 개념과 응용을 확인하고 마지막 서술·단답형에서 다항식을 결정하는 과정을 설명하는 구성입니다.

초반에는 인수분해, 판별식, 계수 계산, 제한된 구간의 최대·최소처럼 익숙한 출발점을 찾을 수 있습니다. 이후에는 같은 개념도 표현이 달라집니다. 함수값 조건을 인수 조건으로 바꾸거나 교점 사이의 거리를 근의 관계로 옮겨야 하므로, 공식을 기억하는 것과 적용할 형태를 알아보는 것을 함께 연습해야 합니다.

서술형은 계산 결과에 이르는 근거가 중요합니다. 19번에서는 두 근이 같을 가능성을 검토해야 하고, 20번에서는 무리수의 성질을 이용해 계수 조건을 얻는 이유가 필요합니다. 평소 풀이에서도 조건을 사용한 위치와 경우를 제외한 이유를 짧게 적어 두는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 중반부터 시작되는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번에 모여 있습니다. 풀이의 출발점이 비교적 직접적인 구간이지만, 근이 아닌 것을 고르는 요구나 계수의 부호를 잘못 읽으면 불필요한 재계산이 생깁니다. 기본 문항일수록 마지막에 무엇을 구하는지 확인하고 마무리하세요.

5~9번을 지나면 10~12번이 연속으로 어려움입니다. 보조다항식 구성, 절댓값이 있는 함수값 조건, 복소수 거듭제곱의 축약처럼 서로 다른 사고가 이어집니다. 한 문항에서 막혔다고 같은 방식의 계산만 반복하기보다 필요한 표현 전환을 찾았는지 점검하는 편이 좋습니다.

13·14·17번은 보통으로 분류돼 있어 중반 이후에도 다시 풀 수 있는 문항이 있습니다. 반면 18~20번은 어려움이 이어지므로 끝까지 순서대로 풀겠다는 계획은 조정할 필요가 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 항등식 중심으로 이어지는 다항식 사고

항등식은 수치대입으로 계수합을 구하는 5번부터 나머지 조건을 묶는 9번, 인수정리를 활용하는 10·18번, 계수 비교의 15번, 나눗셈 조건을 논술하는 20번까지 이어집니다. 같은 단원이라도 대입·차수·인수·나머지 중 무엇을 먼저 활용할지 고르는 연습이 필요합니다.

이차함수는 꼭짓점과 끝점 비교에서 교점의 거리 조건까지 폭이 있습니다. 4·11번은 최대·최소를, 14·17번은 이차방정식의 근과 그래프를 연결합니다. 복소수는 음의 제곱근의 부호를 다루는 6번과 거듭제곱을 다루는 12·16번으로 나뉘므로 계산법만 한 묶음으로 외우면 대응하기 어렵습니다.

문항 수가 적은 단원에도 별도의 점검이 필요합니다. 7번은 매개변수의 부호에 따른 부등호 방향, 13번은 연립방정식과 내접원 넓이의 연결을 확인합니다. 출제 비중에 따라 학습 시간을 조절하되 기본 조건 처리를 생략하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 커진 항등식 비중

작년과 올해 모두 수학(상)이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 8문항으로 늘었고 서술·단답형은 3문항에서 2문항으로 줄었습니다. 작년 서술·단답형은 18번 쉬움, 19번 보통, 20번 어려움이었으나 올해는 19·20번 모두 어려움입니다. 서술형 수의 감소를 작성 부담의 감소로 받아들이기는 어렵습니다.

항등식은 작년 2문항에서 올해 6문항으로 늘었습니다. 이차함수는 4문항으로 같고, 다항식과 여러가지방정식은 줄었습니다. 작년 어려움은 10·14·15·16·17·20번이었고 올해는 10~12번에서도 연속으로 나타납니다. 따라서 후반만 대비하기보다 중반의 어려움 문항을 건너뛰고 다시 돌아오는 운영도 연습하세요.

다음 시험을 준비할 때에는 항등식의 비중 변화에 주목하되 같은 배치가 반복된다고 단정하지 마세요. 대입에서 인수정리로 넘어가는 과정, 차수에 맞게 나머지를 놓는 과정, 풀이의 예외를 설명하는 과정을 묶어 공부하면 이번 회차의 객관식과 서술형을 함께 복습할 수 있습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 조건을 계산하기 쉬운 형태로 바꾸는 선택이 중요하다는 공통점이 있습니다. 풀이를 복습할 때에는 계산 줄을 외우기보다 처음에 왜 그 식을 만들거나 그 경우를 나눴는지 설명해 보세요. 이들은 문항 내용에 따른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 난도 순위가 확인된 것은 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~9번에서 해결 가능한 문항을 안정적으로 마무리하세요. 10~12번에서 풀이 방향이 잡히지 않으면 조건을 정리해 표시한 뒤 13·14번 등으로 이동하는 방법이 좋습니다. 공식 시험 시간이 자료에 제시돼 있지 않으므로 고정된 분 단위보다 풀이 가능 여부를 기준으로 이동하는 연습을 권합니다.

19·20번은 답안을 작성할 시간을 별도로 남겨야 합니다. 객관식 풀이가 끝날 때까지 서술형을 열어 보지 않으면 논증에 필요한 분량을 가늠하기 어렵습니다. 시험지를 훑을 때 먼저 요구를 확인하고, 답안에서는 사용한 관계와 경우를 제외한 이유가 이어지도록 적으세요.

조건 검토는 계산 후 한 번 더 해야 합니다. 6번의 제곱근과 분모 조건, 7번의 계수 부호, 15·18번의 차수 조건, 17번의 그래프 위치를 확인하세요. 특히 19번에서 근의 차로 나누기 전의 예외와 20번에서 계수 조건을 분리하는 이유는 풀이 옆에 표시해 두면 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 계산을 짧게 정리하세요. 인수분해·계수 추출·판별식·구간 최대최소에서 요구와 부호를 확인하는 순서를 고정합니다(1·2·3·4번 대비).
2. 항등식의 대입과 나머지를 연결하세요. 계수합은 적절한 대입으로, 복합 나머지는 차수 제한과 기존 나머지 조건으로 접근합니다(5·9번 대비).
3. 보조다항식과 차수 판단을 연습하세요. 함수값 조건을 인수로 바꾸고 제곱된 식의 차수로 형태를 정한 뒤 후보의 중복을 확인합니다(10·15·18번 대비).
4. 부호 조건을 먼저 쓰는 습관을 들이세요. 제곱근과 절댓값, 매개변수 부등식에서 경우를 나누고 경계값을 확인합니다(6·7·11번 대비).
5. 근과 계수의 관계를 그래프와 연결하세요. 근의 합·곱·차를 변환하고 교점의 위치나 자연수 조건까지 검토합니다(8·14·17번 대비).
6. 높은 거듭제곱은 낮은 차수 관계로 줄이세요. 켤레복소수의 배수 관계와 이차식의 근이 만족하는 관계를 구분해 적용합니다(12·16·20번 대비).
7. 연립 조건을 설명하는 답안을 작성하세요. 식을 합하거나 빼는 목적, 자연수 조건의 사용, 제외한 경우의 근거를 문장으로 적고 점검합니다(13·19번 대비).