단국대학교사범대학부속고등학교
2024년 1학년 1학기 중간고사

단국대학교사범대학부속고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

단국대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험은 다항식의 연산과 인수분해, 항등식과 나머지정리, 복소수, 이차방정식, 여러 가지 방정식, 이차함수를 다룹니다. 단원별 공식을 아는 데서 나아가 조건을 식의 구조로 옮길 수 있어야 합니다.

초반에는 복소수의 상등, 다항식 계산, 교점과 판별식처럼 출발점이 분명한 문항이 나옵니다. 중반부터는 교점 정보를 인수로 나타내거나 주어진 함수값 조건을 영점으로 바꾸는 등 표현을 바꿔야 풀이가 열립니다. 무작정 전개하기 전에 무엇을 남기고 무엇을 없앨지 결정하는 시험입니다.

서술·단답형은 난도가 한 방향으로 높아지는 배열이 아닙니다. 15·16번이 자동 분류 기준 어려움이지만 17·19·22번은 보통입니다. 앞의 서술형에서 막혔다고 뒤쪽까지 같은 부담으로 판단하지 말고, 전체를 살펴 접근 가능한 구조를 먼저 찾으세요.

난이도 분포 — 초반 기본형에서 후반 조건 결합으로

난이도와 비중은 자동 분류 기준이며, 비중은 반올림한 값입니다. 1~6번은 익숙한 정의와 연산을 정확하게 적용하는 구간입니다. 여기서 서두르다가 괄호의 부호나 서로 다른 교점이라는 조건을 놓치면 이후 검토에 시간을 다시 써야 합니다.

7·8번에서 그래프와 나머지 조건의 연결이 시작되고, 9·10번에서는 경우를 나누는 판단이 필요합니다. 11번을 지나 12~16번에는 어려움 문항이 이어지므로 이 구간을 모두 순서대로 해결하려는 운영은 부담이 큽니다.

서술·단답형에서는 17번의 공통부분 치환, 19번의 접선 조건, 22번의 근과 계수 관계처럼 익숙한 출발점을 먼저 확보하세요. 분류상 보통이어도 실근의 존재와 매개변수 범위를 확인하지 않으면 계산의 의미가 달라집니다.

출제 단원 — 이차함수 중심, 항등식과 복소수의 확장

이차함수는 단순히 꼭짓점 공식만 준비해서는 충분하지 않습니다. 교점을 방정식의 근으로 해석하는 3·4·7번, 제한 구간을 다루는 10·22번, 함수의 계수나 접선 조건을 구성하는 12·19번처럼 쓰임이 다릅니다. 같은 판별식도 교점의 개수와 항등 조건에서 역할이 달라집니다.

항등식은 나머지와 인수의 관점을 오가는 연습이 필요합니다. 8번에서는 나머지의 형태를 좁히고, 13번에서는 새로운 다항식을 만들어 인수를 드러내며, 20번에서는 중복인수 조건을 추가로 읽어야 합니다. 복소수도 기본 계산에서 끝나지 않고 실수 조건과 거듭제곱의 주기로 확장됩니다.

출제 수가 적은 단원도 마무리 점검에서 빠뜨리면 안 됩니다. 21번은 이차방정식으로 분류되어 있지만 다항식의 차수와 완전제곱식까지 연결합니다. 단원별 문제를 푼 뒤 어떤 조건이 다른 개념을 불러오는지 설명하는 복습이 효과적입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 구성에서 어려움 문항 확대

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항 수와 서술·단답형 구성은 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 5문항에서 올해 10문항으로 늘었고, 쉬움과 보통은 줄었습니다. 같은 구성이라도 기본형을 처리한 뒤 남겨야 할 풀이 여유는 올해가 더 큽니다.

작년에는 다항식·항등식·이차방정식이 각각 5문항으로 가장 많았지만 올해는 이차함수 7문항이 중심입니다. 이차함수는 작년 4문항에서 늘었고, 이차방정식은 작년 5문항에서 올해 1문항으로 줄었습니다. 다만 올해 이차함수 문항에서도 판별식과 근과 계수의 관계를 쓰므로 단원 수의 감소를 개념 중요도의 감소로 해석하면 안 됩니다.

작년 어려움 문항은 11·13·15·18·20번이었고 올해는 9번부터 등장합니다. 서술·단답형도 작년의 15·18·20번에 더해 올해는 16·21번까지 어려움으로 분류됩니다. 대비할 때는 작년 문제의 풀이를 반복하는 데서 나아가, 이동 구간과 자연수·정수 조건을 함께 붙인 유형을 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 간단히 만든 뒤에도 별도의 검증이 남는다는 점입니다. 풀이를 조건 변환, 후보 생성, 원래 조건 검토로 나눠 적으면 중간 성과와 남은 과제를 구별할 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 연산을 정확하게 처리해 여유를 확보하세요. 9·10번부터는 경우 정리가 길어질 수 있으므로 핵심 구조가 보이지 않으면 표시하고 다른 문항을 확인하세요. 연습 때는 계산 시간뿐 아니라 풀이 방향을 찾는 데 머문 시간도 기록하면 이동할 기준을 세우기 좋습니다.

서술·단답형을 시작하면 먼저 전체 조건을 훑으세요. 15·16번에 오래 머물기 전에 17·19·22번의 치환, 접함, 근과 계수라는 출발점을 확인할 수 있습니다. 답안에는 실근이 존재하는 이유와 후보를 제외한 이유를 짧게 남기고, 마지막 검토 시간을 확보하세요.

검토에서는 14번의 실수 존재 조건, 17번의 치환값에 대응하는 실근, 21번의 제곱 전 부호 가능성을 다시 보세요. 10번은 최솟값을 주는 끝점이 바뀌는 경계, 22번은 포함되지 않는 경계에서의 값과 실제 최솟값을 구별해야 합니다. 자연수 조건이 있는 16·18번은 대수적으로 가능한 후보를 그대로 남기지 마세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 복소수 상등과 실수화, 다항식의 필요한 계수만 구하는 연산을 먼저 안정시키세요. 풀이마다 부호가 바뀌는 지점을 표시하세요(1·2·5·6번 대비).
2. 교점 조건을 방정식으로 옮기고 판별식과 근과 계수의 관계를 연결하세요. 근을 직접 구하지 않고도 관계를 정리하는 연습을 하세요(3·4·7·12·19번 대비).
3. 이차함수의 축과 구간을 함께 그리세요. 끝점의 거리 비교와 열린 경계 확인을 각각 연습한 뒤 매개변수 문제에 적용하세요(10·22번 대비).
4. 나머지와 인수 조건을 항등식으로 쓰세요. 나머지의 차수, 보조다항식의 차수, 중복인수를 보존하며 대입하는 순서를 점검하세요(8·11·13·20번 대비).
5. 복소수의 실수 조건과 거듭제곱의 주기를 분리해 정리하세요. 경우마다 실수 여부와 부호를 따로 확인하는 표를 만들어 보세요(9·15번 대비).
6. 합과 곱의 치환, 공통부분 치환, 차를 이용한 인수분해를 묶어 복습하세요. 마지막에는 실수 존재와 자연수·정수 범위, 부호 후보를 검증하세요(14·16·17·18·21번 대비).