삼각산고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

삼각산고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

삼각산고등학교는 서울 강북구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 명제, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 절대부등식입니다. 논리의 기초와 함수 그래프의 성질을 함께 준비해야 하는 시험입니다.

명제는 용어 구별만으로 끝나지 않습니다. 부정과 대우를 만든 뒤 부등식의 해집합이나 다른 명제와 연결해야 합니다. 함수에서도 값을 대입하는 기본형과 달리, 공역에 치역이 포함되는지 또는 그래프의 어느 부분이 실제 정의역에 속하는지 확인하는 과정이 중요합니다.

서술·단답형에는 정의역과 치역, 합성함수, 대우를 이용한 증명, 역함수의 교점, 산술평균과 기하평균, 유리함수의 교점 문제가 섞여 있습니다. 자동 분류 기준 쉬움인 문항도 있으므로, 객관식 고난도에 시간을 모두 쓰기 전에 서술·단답형까지 확인하는 연습을 권합니다.

난이도 분포 — 중간부터 등장하는 조건 해석 문제

초반 1~4번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 명제와 조건의 구별, 합성 순서, 대응 관계의 역추적, 무리함수 그래프의 이동을 정확히 처리해 출발 구간의 실수를 줄이세요. 이후에는 보통 문항 사이에 어려움 문항이 끼어 있어, 앞에서 막혔다는 이유로 뒤쪽 기본형까지 미루지 않아야 합니다.

보통 구간은 개념을 조건식으로 옮기는 능력을 요구합니다. 6번은 명제의 부정을 이차식의 부호 조건으로, 14번은 일대일함수 조건을 치역과 공역의 관계로 바꿉니다. 16번처럼 매개변수에 따라 증가·감소가 달라지는 문제는 계산 결과와 가정의 일치까지 확인해야 합니다.

어려움 구간은 명제의 포함 관계, 여러 논리 조건의 연결, 함수와 도형의 결합, 반복 합성과 교점 개수로 구성됩니다. 서술·단답형에서도 22·24번 사이에 쉬움인 23번이 있습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감과 다를 수 있지만, 풀이 순서를 정할 때 참고할 수 있습니다.

출제 단원 — 명제의 비중과 함수 그래프의 연결

가장 많은 명제 단원에서는 부정, 대우, 필요조건과 충분조건을 구별하는 힘이 바탕입니다. 9번은 진리집합을 수직선에 표시해야 하고 12번은 명제와 대우를 연결해야 합니다. 21번의 증명까지 대비하려면 용어를 암기한 뒤 끝내지 말고, 같은 조건을 문장·기호·집합으로 바꾸어 쓰세요.

함수 관련 단원은 서로 연결해 공부하는 편이 좋습니다. 3·20번의 역함수 해석은 22번의 그래프 교점으로 이어지고, 4·7·19번의 기본 그래프 성질은 15·18번의 도형 해석과 24번의 교점 개수 판단에 쓰입니다. 단원별 공식을 따로 외우기보다 정의역과 치역을 표시하는 공통 절차를 익히세요.

절대부등식은 13·23번에 출제되었습니다. 도형 조건을 길이의 곱으로 바꾸는 경우와 식을 전개해 양수인 항을 묶는 경우가 함께 있습니다. 산술평균과 기하평균을 적용할 수 있다는 판단에 더해, 등호가 실제 조건 안에서 성립하는지 설명하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 강북구의 서술 구성과 단원 차이

같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 강북구 학교들과 비교하면, 삼각산고는 총 24문항으로 지역 평균 22.8문항보다 많습니다. 서술·단답형도 6문항으로 평균 3.0문항보다 많아, 선택지를 통해 판단하는 연습에 더해 풀이를 직접 정리하는 연습이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 지역 비교에서 반올림한 29%로, 평균 33%보다 낮으며 5개교 중 3위입니다. 다만 서술·단답형의 분량과 교점 조건을 연결하는 부담까지 이 비율 하나로 설명할 수는 없습니다. 쉬움으로 분류된 서술·단답형을 안정적으로 처리하면서 22·24번의 조건 정리에 시간을 남기는 것이 좋습니다.

가장 많은 단원은 영훈고와 같은 명제이며, 신일고의 집합, 혜화여자고의 도형의이동, 창문여자고의 합성함수와역함수와는 중심이 다릅니다. 삼각산고를 준비한다면 명제의 논리 방향과 증명을 우선 정리하고, 유리함수·무리함수 그래프를 도형이나 교점 문제로 확장해 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 연결하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 그래프나 대응 구조를 정리해야 한다는 것입니다. 후보를 찾는 단계와 그 후보가 원래 정의역·구간 조건을 만족하는지 검토하는 단계를 구별해 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 개념과 계산 구조가 바로 보이는 문항부터 확보하세요. 9·12번에서 논리 정리가 길어지면 표시하고 다음 문항으로 넘어갈 수 있어야 합니다. 서술·단답형의 19·20·23번도 먼저 살펴보고, 17·22·24번처럼 여러 단계를 연결하는 문제에 쓸 시간을 따로 남기세요.

명제에서는 문장을 바꾸는 순간의 실수를 점검하세요. 6번은 수량 표현과 부등호를 함께 부정해야 하며, 9번은 부정한 조건의 진리집합을 사용해야 합니다. 11·12번은 필요·충분의 방향을 화살표로 적고, 21번은 나머지에 따른 경우가 빠짐없이 포함되었는지 확인하세요.

함수에서는 계산 뒤 범위를 검토하는 시간을 확보하세요. 8번은 무리함수의 시작점과 직선의 위치, 16번은 증가·감소를 나눈 가정, 18번은 점의 위치와 매개변수 범위가 중요합니다. 22번의 치환 변수 조건과 24번의 정의역 끝점도 다시 확인하고, 절대부등식은 등호 성립 조건까지 적으세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제와 조건, 부정과 대우를 구별한 뒤 문장을 진리집합으로 바꾸세요. 수량 표현과 부등호의 경계를 함께 확인하세요(1·5·6·9번 대비).
2. 필요조건과 충분조건을 화살표로 쓰고 대우·삼단논법으로 연결하세요. 나머지에 따른 경우를 빠짐없이 적는 증명도 연습하세요(11·12·21번 대비).
3. 정의역·공역·치역을 구별하고 기본 함수의 그래프를 그리세요. 제한된 정의역에서 치역이 공역에 포함되는지도 확인하세요(4·7·10·14·19번 대비).
4. 합성 순서를 따라 값을 구한 뒤 역함수로 입력을 찾는 연습을 하세요. 대응 그림의 역추적에서 구간별 함수의 반복 합성으로 확장하세요(2·3·17·20번 대비).
5. 유리함수와 무리함수의 시작점·점근선·증가와 감소를 표시하세요. 이후 도형 넓이, 역함수 교점, 절댓값 그래프의 교점으로 연결하세요(8·15·16·18·22·24번 대비).
6. 산술평균과 기하평균을 적용할 항의 양수 여부부터 확인하세요. 도형의 넓이와 대수식에서 일정한 곱을 찾고 등호의 실현 가능성까지 쓰세요(13·23번 대비).