늘푸른고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

늘푸른고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

늘푸른고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 명제, 절대부등식입니다. 함숫값 계산부터 그래프의 성질, 논리 조건, 부등식의 성립 조건까지 연결되는 구성입니다.

함수 문항은 식을 대입하는 단계에서 끝나지 않습니다. 일대일대응을 위해 각 구간의 치역을 맞추거나, 구간별 함수에서 사용할 식을 먼저 선택해야 합니다. 같은 이차함수라도 정의역이 제한되면 역함수의 존재 여부가 달라지므로 그래프의 전체 모양과 주어진 부분을 구별해야 합니다.

명제에서는 문장의 부정을 정확히 쓰고 이를 방정식이나 집합 조건으로 옮기는 능력이 중요합니다. 모든 문항이 객관식으로 등록되어 있지만, 증명과 등호 성립 조건을 다루는 내용도 있습니다. 선택형 연습에서도 판단 근거를 남겨야 조건을 일부만 확인하는 실수를 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 중반부터 분산된 조건 해석 문항

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·2·6·7·9번입니다. 역함수의 입력과 출력, 진리집합, 그래프의 기본 성질, 대우의 구조를 확인합니다. 초반에만 모여 있지 않으므로 5번에서 풀이가 길어지더라도 뒤의 기본 문항을 먼저 확인하는 운영이 가능합니다.

보통 문항은 3·4·11·12·14·19번입니다. 명제의 부정을 판별식으로 연결하거나 구간별 치역의 끝값을 구별하는 등 개념 전환이 필요합니다. 특히 19번처럼 부등식의 증명과 등호 조건을 함께 보는 문제는 계산이 짧아도 조건 검토를 생략하기 어렵습니다.

자동 분류 기준 어려움은 5·8·10·13·15·16·17·18·20번입니다. 후반에는 함수의 구간 선택과 실근 개수, 최댓값 조건이 겹칩니다. 다만 19번은 보통으로 분류되어 있으므로 번호 순서가 난도 순서라고 생각하지 마세요. 자동 분류 결과는 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수 없습니다.

출제 단원 — 합성함수와 역함수에 모인 조건 연결

합성함수와역함수는 1·4·10·15·18·20번입니다. 기본적인 역함숫값에서 시작해 역함수 존재 조건, 구간별 합성, 합성방정식의 실근, 이동 구간에서의 최댓값으로 확장됩니다. 역함수 식을 구하는 연습만 반복하기보다 정의역과 치역을 대응시키는 연습이 필요합니다.

명제는 2·3·9·14·16번입니다. 진리집합과 대우를 익힌 뒤 부정의 참 조건이나 필요조건을 집합 포함 관계로 옮겨야 합니다. 16번은 이차부등식과 절댓값부등식의 해집합을 연결하므로 명제 단원을 문장 암기만으로 준비하기 어렵습니다.

무리함수와 유리함수에서는 시작점, 점근선, 정의역을 이용해 그래프의 범위를 정하는 일이 공통적입니다. 17번은 두 종류의 함수가 구간별로 결합되어 단원 간 연결이 드러납니다. 절대부등식의 13·19번은 각각 최솟값과 등호 조건을 다루므로 부등식 적용 뒤 성립 가능성까지 확인하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변경을 고려한 공통 단원 점검

작년은 수학(하), 올해는 공통수학2로 과목이 다릅니다. 표의 최다 단원은 각 시험의 구성을 보여 주는 정보이며, 서로 다른 단원을 같은 범위로 비교할 수는 없습니다. 공통 단원인 합성함수와역함수는 작년 4문항에서 올해 6문항, 유리함수는 5문항에서 2문항, 무리함수는 2문항에서 3문항, 함수는 1문항에서 2문항으로 바뀌었습니다.

자동 분류 기준 어려움은 작년 15문항에서 올해 9문항으로 줄었습니다. 작년은 7번에서 처음 등장한 뒤 9~22번에 이어졌지만, 올해는 5번부터 등장하고 뒤에도 쉬움이나 보통 문항이 섞여 있습니다. 문항 수와 과목이 함께 달라졌으므로 이 변화만으로 실제 응시 부담의 감소를 확정할 수는 없습니다.

공통 범위에서는 유리함수 단독 유형의 비중보다 합성함수와 역함수의 조건 연결을 우선 보완할 필요가 있습니다. 작년 문제를 활용할 때도 같은 단원부터 골라 복습하고, 올해 자료의 구간별 치역과 합성방정식 해석을 이어서 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정한 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 문장이나 합성식을 구간과 그래프로 바꾸는 단계가 중요합니다. 계산에 들어가기 전 변수가 가질 수 있는 범위와 경계의 포함 여부를 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 역함숫값과 그래프의 기본 성질처럼 접근이 바로 보이는 문항부터 확보하세요. 5번의 인수분해나 8번의 교점 검토가 길어지면 표시해 두고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 실제 제한 시간 자료는 없으므로 고정된 분 단위 계획보다 연습에서 개념 해석과 계산에 걸린 시간을 구별해 보세요.

재검토에서는 같은 함수 조건도 서로 구별해야 합니다. 10·12번은 공역을 모두 채우는지, 17번은 각 조각의 출력이 겹치지 않는지를 확인하세요. 15번은 해를 구한 다음 구간 가정에 대조해야 하며, 16번은 부정한 명제의 양화사와 부등호가 모두 바뀌었는지 점검해야 합니다.

마지막에는 빠진 경계 조건을 살피세요. 8·11번의 근호와 20번의 유리함수에는 입력 제한이 있고, 12·17번의 치역은 열린 끝점과 닫힌 끝점의 차이가 중요합니다. 13·19번은 부등식이 성립한다는 확인에 더해 등호가 가능한 조건까지 함께 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 역함수의 입력과 출력을 바꾸는 기본 대응부터 익히세요. 합성 순서를 단계별로 적어 계산의 흐름을 확인하세요(1·4번 대비).
2. 무리함수의 시작점과 유리함수의 점근선을 먼저 그리는 연습을 하세요. 정의역과 치역을 그림 옆에 함께 적으세요(6·7·11번 대비).
3. 명제의 부정, 대우, 필요조건을 진리집합으로 정리하세요. 이차부등식과 절댓값부등식의 해집합 포함으로 확장하세요(2·3·9·14·16번 대비).
4. 항등함수와 일대일대응을 구별하고 제한된 정의역에서 조건을 확인하세요. 구간별 치역의 겹침과 누락을 따로 검사하세요(5·10·12·17번 대비).
5. 교점 개수와 구간별 합성을 묶어 연습하세요. 치환 변수의 범위를 정하고 계산으로 얻은 후보를 원래 구간에 되돌려 확인하세요(8·15·18번 대비).
6. 부등식의 적용 조건과 등호 조건을 한 묶음으로 복습하세요. 그래프 최댓값 문제에서는 치환 구간과 꼭짓점을 먼저 비교하세요(13·19·20번 대비).