면목고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

면목고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

면목고등학교는 서울 중랑구에 있습니다. 이 시험은 명제와 절대부등식, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수를 다룹니다. 논리의 참거짓을 판별하는 기본형에서 집합의 조건을 해석하는 문제로, 함수의 성질에서 그래프 변형과 교점 문제로 확장됩니다.

기본 개념을 알아도 조건의 방향을 정확하게 읽어야 합니다. 충분조건과 필요조건은 진리집합의 포함 관계로 옮기고, 역함수는 입력과 출력이 바뀐다는 사실을 그래프와 연결해야 합니다. 같은 개념이 쉬운 확인 문제와 복합 조건 문제에 모두 등장하므로 단원 이름만으로 풀이 부담을 판단하기 어렵습니다.

후반에는 함숫값을 구한 뒤 다시 함수에 넣거나, 교점 개수의 변화로 매개변수를 좁히는 구조가 나타납니다. 계산을 시작하기 전 무엇을 기준으로 경우를 나눌지 정하는 연습이 중요합니다. 서술·단답형에서는 대우 증명의 논리와 유리함수에 연결된 도형의 성질을 글과 식으로 정리해야 합니다.

난이도 분포 — 기본형 이후 길게 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1·2·3·6·20번입니다. 명제의 정의, 대응 관계와 역함수, 치역, 대우 증명이 포함됩니다. 보통인 4·5번은 유리함수의 대칭과 점근선을 다루므로 초반부터 그래프의 기준점을 정확히 잡아야 합니다.

7~19번은 자동 분류 기준 어려움이 연속됩니다. 다만 논리 추론, 경우의 수, 그래프 해석 등 요구하는 접근은 서로 다릅니다. 앞 문항의 풀이가 길어지면 뒤의 문제를 훑어 익숙한 구조를 먼저 찾으세요. 분류가 같다는 이유로 모든 문제의 체감 난도가 같다고 볼 수는 없습니다.

20번은 자동 분류 기준 쉬움인 서술·단답형이고 21번은 어려움입니다. 서술형이라는 형식 자체보다 요구하는 과정의 차이를 보아야 합니다. 특히 20번은 대우를 쓰는 단계와 그 대우를 증명하는 단계를 나누어 답안을 구성하는 것이 좋습니다.

출제 단원 — 명제와 유리함수에서 기본과 응용을 함께 확인

명제는 1·3번의 기본 개념에서 7번의 대우와 삼단논법, 13번의 진리집합, 16번의 양화 명제와 집합 조건으로 이어집니다. 20번에서는 대우를 이용한 증명을 요구합니다. 정의를 외우는 데 그치지 말고 같은 내용을 문장·집합·추론 관계로 바꾸어 표현해야 합니다.

유리함수는 4·5번의 대칭과 점근선에서 9번의 사분면, 10번의 절댓값과 최댓값·최솟값, 21번의 도형으로 확장됩니다. 함수식을 평행이동 형태로 정리한 뒤 대칭 중심과 가지의 위치를 그리는 연습이 공통 기반입니다.

함수 단원은 항등함수의 정의역 조건과 일대일함수의 경우 세기, 반복되는 그래프의 교점으로 구성됩니다. 무리함수와 합성함수와역함수에서도 정의역·치역과 구간 구분이 중요합니다. 절대부등식의 12번은 접하는 조건을 판별식으로 바꾼 뒤 산술평균과 기하평균의 관계로 연결합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 같은 학기 기말 공통수학2

서울 지역에서 같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 학교들과 비교하면, 면목고는 총 21문항으로 지역 평균 21.8문항과 가깝습니다. 서술·단답형은 2문항으로 평균 4.3문항보다 적지만, 자동 분류 기준 어려움 비율은 67%로 지역 평균 40%보다 높습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 11개교 중 1위입니다. 이는 분류 비율의 순위이며 실제 응시자의 성취를 나타내는 순위는 아닙니다. 서술·단답형 개수만으로 준비량을 판단하기보다 객관식에서도 복수 조건을 끝까지 처리하는 연습이 필요합니다.

가장 많은 단원은 학교마다 명제, 집합, 함수, 합성함수와역함수로 다릅니다. 면목고는 명제를 중심으로 유리함수도 함께 준비해야 합니다. 다른 학교의 함수 문제를 연습할 때도 면목고의 진리집합 해석, 그래프의 경계 조건과 연결되는 유형을 골라 풀어 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건의 결합과 경계 처리 때문에 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 경우를 나누는 기준을 먼저 잡아야 계산이 정돈됩니다. 풀이를 복습할 때는 계산 실수뿐 아니라 어떤 조건이 경우 구분을 만들었는지도 짧게 기록하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~6번의 명제와 함수 기본형을 정확히 처리하고 전체 문제를 살펴보세요. 7번 이후 추론이나 경우 나누기에서 오래 막히면 표시하고 넘어가세요. 후반 객관식을 모두 끝내야 서술·단답형을 볼 수 있다고 생각하지 말고 20번의 대우 증명도 일찍 확인하는 편이 좋습니다.

그래프 문제는 작은 스케치를 먼저 남기세요. 10번은 절댓값으로 접히는 지점, 15번은 함수식이 달라지는 경계, 18번은 포함·제외되는 끝점을 표시합니다. 19번에서는 교점 개수가 변하는 높이를 따로 적으면 같은 구간을 반복해서 계산하는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 방향과 경계를 우선 확인하세요. 7·13·16번은 대우와 필요충분조건의 방향, 11번은 제곱 전 부호, 17번은 출력의 중복이 핵심입니다. 20번은 대우 증명의 마무리 문장을, 21번은 기울기로 확인한 수직 관계와 넓이를 구하는 변의 대응을 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제의 정의와 충분조건·필요조건을 진리집합으로 표현하세요. 대우를 직접 쓰고 짝홀 증명까지 문장으로 완성하세요(1·3·20번 대비).
2. 여러 명제는 화살표로 연결하고 양화 명제의 부정을 연습하세요. 필요충분조건이 만드는 원소 묶음을 정리해 보세요(7·13·16번 대비).
3. 유리함수를 평행이동 형태로 정리해 점근선·대칭 중심·사분면을 그리세요. 절댓값 그래프와 도형의 넓이로 확장하세요(4·5·9·10·21번 대비).
4. 무리함수의 정의역과 치역, 역함수의 대응을 복습하세요. 제곱 전 부호와 구간별 합성의 입력 범위를 확인하세요(2·6·11·14·15번 대비).
5. 항등함수는 가능한 정의역을, 일대일함수는 출력 중복을 기준으로 경우를 세세요. 선택이 서로 영향을 주는 지점을 표시하세요(8·17번 대비).
6. 반복 그래프와 절댓값 변형에서 교점 개수의 변화표를 만드세요. 끝점 포함 여부와 경계 높이를 따로 검사하세요(18·19번 대비).
7. 접하는 조건을 판별식으로 바꾼 뒤 최솟값을 구하는 연결을 연습하세요. 부등식 적용 조건과 등호 성립 여부를 함께 쓰세요(12번 대비).