서울고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

서울고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

서울고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 명제, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 절대부등식, 무리함수입니다. 조건의 참과 거짓을 판단하는 문제에서 함수의 그래프와 역함수의 존재 조건까지 이어집니다.

명제에서는 부정과 대우의 기본 성질뿐 아니라 진리집합의 포함 관계, 반례, 모든·어떤을 포함한 표현, 귀류법을 다룹니다. 같은 논리 단원이어도 집합으로 바꾸는 문제와 증명 과정을 쓰는 문제의 준비 방식이 다르므로 두 방향을 함께 연습해야 합니다.

함수에서는 대응의 개수를 세는 기본형에서 출발해 합성 순서, 치역과 공역의 일치, 역함수와의 대칭 관계까지 확인합니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 단순 대입보다 가능한 입력의 범위를 제한하는 과정이 중요합니다. 수식을 정리한 뒤에도 원래 조건으로 돌아가 후보를 확인하는 습관이 필요합니다.

난이도 분포 — 중간의 고난도와 후반 조건 해석

쉬움은 1·2·3·8·17번입니다. 명제의 부정, 함수 개수, 대응 그림의 합성과 역함수, 산술·기하평균, 진리집합처럼 기본 개념을 확인합니다. 다만 산술·기하평균의 등호 성립 조건이나 전체집합의 제한을 생략하면 기본형에서도 오류가 생깁니다.

보통은 4·6·7·9·12·18·22번입니다. 함수의 치역이 공역 안에 들어가는지, 유리함수와 직선이 만나는지, 이차함수의 대칭을 활용할 수 있는지 판단해야 합니다. 특히 마지막 22번도 보통으로 분류되므로 후반 번호라는 이유로 미리 포기하지 마세요.

어려움은 5·10·11·13·14·15·16·19·20·21번입니다. 초반 5번에 막혀도 뒤의 보통 문항을 확보할 수 있는 배치입니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 이 분류를 활용해 구간을 살피되 실제 풀이에서는 자신이 구조를 파악한 문제부터 해결하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 명제와 합성·역함수의 비중

명제는 1·4·10·15·17·19·22번으로 가장 많습니다. 부정과 진리집합을 익힌 뒤 필요조건·충분조건을 포함 관계로 바꾸고, 반례가 속하는 영역을 찾는 순서로 학습하세요. 19번에서는 양화 표현의 차이를, 22번에서는 모순에 도달하는 증명 흐름을 별도로 준비해야 합니다.

합성함수와역함수는 3·5·11·12·20번입니다. 합성값을 계산하는 수준을 넘어 그래프에서 입력을 거꾸로 찾거나, 역함수가 존재하도록 정의역과 치역을 맞춥니다. 함수 단원의 13·16번도 항등함수와 일대일대응의 조건을 활용하므로 정의를 정확히 이해하는 학습과 연결됩니다.

유리함수는 7·9·14·18번에서 직선과의 교점, 사분면, 점근선, 합성 후 정의역과 치역을 확인합니다. 절대부등식 8번은 양수 조건과 등호 성립을, 무리함수 21번은 역함수와의 교점 및 제곱 전 조건을 다룹니다. 적게 나온 단원도 핵심 조건을 따로 정리해 두세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변경과 공통 단원의 변화

작년 과목은 수학(하), 올해는 공통수학2로 서로 다릅니다. 총 문항 수와 서술·단답형 구성은 같지만 출제 단원의 구성이 달라, 난이도 수치만으로 시험 전체의 부담을 단정하기는 어렵습니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 작년보다 줄고 쉬움과 보통은 늘었습니다.

겹치는 단원에서는 유리함수가 양쪽 모두 4문항이고, 함수는 작년 1문항에서 올해 4문항으로 늘었습니다. 무리함수는 작년 6문항에서 올해 1문항으로 줄었습니다. 공통 단원을 복습하되 올해 문항에 나타난 함수의 성립 조건과 대응 관계를 중심으로 학습 우선순위를 조정하세요.

작년 어려움은 객관식 9~16번과 서술·단답형 18~22번에 이어졌습니다. 올해는 5번에서도 등장하지만 후반에 보통 문항이 섞여 있습니다. 따라서 번호 순서대로 끝까지 풀기보다 전체를 훑고, 진리집합·함수의 범위·그래프 해석 중 접근 가능한 구조를 먼저 찾는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간 계산으로 얻은 후보가 곧바로 풀이의 끝이 되지 않는다는 점입니다. 각 단계에서 집합의 소속, 구간, 부호 조건을 따로 적어 두고 마지막에 다시 대조하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~3번의 기본 개념을 확인하고, 5번의 그래프 역추적이 길어지면 표시한 뒤 다음 문항을 살펴보세요. 6~9번에도 확보할 문제가 있으며, 객관식 후반을 모두 마친 뒤 서술·단답형을 시작할 필요는 없습니다. 17번의 진리집합과 18번의 합성함수 범위처럼 출발점이 분명한 문제를 먼저 확인하세요.

서술·단답형에서는 계산 전에 적용할 조건을 적어 두는 것이 좋습니다. 19번은 어떤 실수가 존재하는 경우와 모든 실수가 만족하는 경우를 분리하고, 20번은 확보한 구간의 치역을 표시하세요. 22번은 귀류법의 가정과 서로소 조건을 먼저 기록하면 증명의 연결을 점검하기 쉽습니다. 연습할 때 조건 해석과 답안 정리에 걸리는 시간을 따로 살펴보세요.

마지막 검토는 누락한 경계와 정의를 중심으로 하세요. 7번은 교점 방정식의 차수가 달라지는 경우와 분모 제한, 11·21번은 제곱 전 부호 조건, 17번은 전체집합의 제한이 중요합니다. 18번은 합성 순서에 따라 제외되는 입력과 출력이 달라지며, 16번은 서로 다른 입력에 같은 출력을 배정하지 않았는지 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정과 대우, 진리집합의 기본 표현을 복습하세요. 부등식의 해를 구한 뒤 전체집합에 맞는 원소만 남기는 연습을 하세요(1·4·17번 대비).
2. 필요조건과 충분조건을 집합의 포함 관계로 바꾸세요. 반례의 영역과 모든·어떤의 차이는 수직선으로 표시하며 확인하세요(10·15·19번 대비).
3. 함수의 정의와 대응을 정리하세요. 함수 개수, 치역의 공역 포함, 항등함수의 고정점, 일대일대응의 중복 금지를 연결하세요(2·6·13·16번 대비).
4. 합성 순서를 추적하고 그래프에서 입력을 거꾸로 찾는 연습을 하세요. 이차함수의 대칭과 역함수의 정의역·치역 교환도 함께 정리하세요(3·5·11·12·20번 대비).
5. 유리함수는 점근선과 중심을 표시한 뒤 사분면과 직선의 위치를 판단하세요. 합성 후 분모 제한도 별도로 확인하세요(7·9·14·18번 대비).
6. 최솟값과 교점 문제에서는 등호와 부호 조건을 끝까지 유지하세요. 산술·기하평균의 등호 성립과 제곱한 방정식의 근 범위를 점검하세요(8·21번 대비).
7. 귀류법은 결론의 부정에서 출발해 모순에 이르는 연결을 문장으로 써 보세요. 서로소 가정을 도입하는 이유와 소수의 배수 성질을 쓰는 위치를 설명해 보세요(22번 대비).