개포고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

개포고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 여러가지방정식, 복소수, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 대수 조건을 다루는 앞부분에서 좌표와 도형을 연결하는 문항으로 이어집니다.

공식에 수치를 넣는 것만으로 끝나지 않는 문항이 많습니다. 방정식에서는 인수분해 뒤 서로 다른 근을 구별해야 하고, 부등식에서는 해의 범위를 정수의 개수로 다시 읽어야 합니다. 도형에서는 각의 이등분선이나 무게중심의 성질을 이용해 좌표 계산의 출발점을 찾는 일이 중요합니다.

객관식 다음에 서술·단답형만 이어진다고 생각해서는 안 됩니다. 22번은 객관식이고 23번은 서술·단답형입니다. 문항 형식과 번호를 먼저 확인하고, 풀이를 길게 해야 하는 문제 사이에서도 기본 개념으로 처리할 수 있는 문항을 찾아야 합니다.

난이도 분포 — 초반의 조건 해석과 후반 기본형의 혼재

자동 분류 기준 쉬움은 14·18·19·20번입니다. 축에 접하는 원, 내분점과 무게중심, 수직인 직선, 원의 표준형처럼 개념을 직접 적용하는 유형입니다. 보통은 거리 공식의 유도 과정을 다루는 12번과 원의 접선에 닮음을 연결하는 16번입니다.

1~11번이 모두 어려움으로 분류되어 있어 번호 순서대로만 풀면 초반에 시간이 길어질 수 있습니다. 이 구간에서는 근의 조건과 정수해, 도형의 내분 관계를 차례로 처리해야 합니다. 특히 앞 문제에서 막혔다는 이유로 뒤의 기본형까지 늦추지 않도록 전체를 훑는 연습이 필요합니다.

21~23번은 항상 성립하는 부등식, 각의 이등분선과 무게중심의 결합, 이동 경로의 해석으로 마무리됩니다. 자동 분류 기준은 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 다만 해설에서 확인되는 조건 변환의 단계를 기준으로 자신의 취약한 접근을 찾아볼 수 있습니다.

출제 단원 — 평면좌표와 원을 중심으로 한 도형 연결

평면좌표는 8·9·10·11·18·22번입니다. 내분점 공식만 따로 외우기보다 각의 이등분선으로 길이 비를 얻고 무게중심으로 옮기는 연결이 중요합니다. 9번처럼 점을 정하는 연산이 반복되는 경우에는 좌표 표현과 도형 위의 위치를 함께 확인해야 합니다.

원의방정식은 14·15·16·17·20번입니다. 완전제곱으로 중심과 반지름을 읽는 기본형에서 접선, 닮음, 점의 자취로 확장됩니다. 직선의방정식에 속한 23번도 수직이등분선으로 경로를 정한 뒤 원과의 교차 구간을 계산하므로 단원 경계를 넘는 연습이 필요합니다.

대수에서는 여러가지부등식의 정수해 개수와 항상 성립할 조건을 구별하세요. 방정식은 인수분해 뒤 근의 중복이나 정수 조건을 검사하고, 복소수는 켤레 관계를 거듭제곱의 주기로 바꾸는 연습이 적합합니다. 풀이 도구를 선택하는 기준을 말로 설명해 보는 것이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 해석의 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 앞에서 얻은 결과가 다음 개념의 적용 조건이 됩니다. 식을 길게 전개하기 전에 어떤 조건으로 다음 단계로 넘어갈지 짧은 풀이 순서를 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

전체 시험을 훑으며 14·18·19·20번처럼 출발이 분명한 문항을 먼저 확인하세요. 초반의 방정식과 부등식에서 경우 분류가 길어지면 현재까지 얻은 조건을 표시하고 이동하는 편이 좋습니다. 서술·단답형도 기본형과 여러 개념을 연결하는 유형이 섞여 있으므로 형식만 보고 뒤로 미루지 마세요.

대수 문항에서는 계산보다 분류표를 먼저 쓰는 연습을 권합니다. 1번은 중근과 공통근, 5·6번은 정수의 포함 여부, 21번은 양쪽 부등식이 동시에 성립하는 범위를 확인해야 합니다. 특히 모든 실수에서 성립한다는 조건을 일부 실수에서 해를 갖는 조건으로 바꾸지 않도록 주의하세요.

도형 문항은 비례식의 대응과 이동 범위를 마지막에 점검하세요. 13번은 좌표의 허용 구간, 15번은 거리 조건으로 접점 후보를 거르는 과정, 23번은 배가 원 내부의 현 전체를 지나는 조건이 중요합니다. 검토 시간을 남겨 길이와 넓이, 반지름과 그 제곱, 속도와 시간의 단위가 뒤섞이지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 좌표의 기본 계산부터 정리하세요. 내분점과 무게중심, 수직인 직선, 원의 표준형을 풀이 근거와 함께 써 보세요(14·18·19·20번 대비).
2. 인수분해 이후의 근 검사를 연습하세요. 서로 다른 근과 중근, 정수근의 조건을 따로 적고 치환한 변수를 원래 변수로 복원하세요(1·2·4번 대비).
3. 부등식은 수직선에 해집합을 그린 뒤 정수해를 세세요. 경계의 등호와 매개변수에 따른 근의 순서, 항상 성립할 조건을 구별하세요(5·6·7·21번 대비).
4. 켤레복소수 관계를 거듭제곱의 주기로 바꾸세요. 반복되는 묶음과 남는 항을 나누어 계산하는 습관을 들이세요(3번 대비).
5. 각의 이등분선과 무게중심을 내분점에 연결하세요. 도형에서 비를 얻는 단계와 좌표 또는 넓이로 옮기는 단계를 나누어 설명해 보세요(8·9·10·11·22번 대비).
6. 접선과 수직이등분선을 이용한 거리 문제를 묶어 연습하세요. 거리 공식의 근거를 확인한 뒤 자취, 최댓값, 이동 시간으로 확장하세요(12·13·15·16·17·23번 대비).