분당영덕여자고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

분당영덕여자고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

분당영덕여자고등학교의 소재지는 제공 자료 기준 성남시입니다. 확인되는 출제 범위는 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동입니다. 부등식의 해를 구하는 대수적 접근과 도형의 위치 관계를 식으로 나타내는 기하적 접근이 함께 필요합니다.

좌표가 주어졌다고 곧바로 모든 점을 미지수로 놓으면 계산이 길어질 수 있습니다. 각의 이등분선, 중선과 무게중심, 접선과 반지름의 수직 관계처럼 먼저 활용할 성질을 찾는 것이 중요합니다. 도형을 해석한 뒤 필요한 좌표나 거리만 계산하는 연습이 도움이 됩니다.

부등식에서는 해의 범위뿐 아니라 정수해 개수와 매개변수의 유일성이 등장합니다. 좌표기하에서는 대칭으로 얻은 점이나 곡선을 다시 원·직선의 조건과 연결합니다. 풀이를 시작하는 아이디어와 마지막 후보를 걸러 내는 조건을 모두 갖추어야 하는 구성입니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 결합

쉬움으로 분류된 1·2·6번은 연립일차부등식, 원의 평행이동, 세 점의 일직선 조건을 확인합니다. 기본형에서도 음수를 곱할 때의 부등호 방향이나 기울기의 분모가 사라지는 예외를 점검해야 합니다. 계산이 짧은 문제를 정확하게 마치는 것이 후반 풀이의 출발점입니다.

보통 문항에서는 거리비를 원의 방정식으로 나타내는 5번, 외분 관계에서 무게중심 구조를 읽는 8번, 대칭으로 경로를 펴는 9번이 눈에 띕니다. 공식을 바로 대입하는 데 그치지 않고 어떤 도형 관계로 바꿀지 결정하는 연습이 필요합니다.

10~12번 뒤에 보통인 13번이 있고, 14번부터는 어려움 문항이 이어집니다. 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수는 없습니다. 다만 후반에는 경우 구분과 성립 조건 검토가 반복되므로, 한 문항의 계산에 오래 머물지 않는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 여러가지부등식과 원의방정식 중심

여러가지부등식은 해의 범위를 비교하는 기본형에서 출발해 절댓값과 정수해 개수, 모든 실수에서의 성립 조건으로 확장됩니다. 14·16번에서는 구간의 합집합과 교집합을 수직선에 표시하는 능력이 중요하고, 20번에서는 유일하게 존재한다는 말을 해집합의 형태로 해석해야 합니다.

원의방정식은 자취뿐 아니라 접선과 도형의 성질을 결합합니다. 10·11번은 접점에서 생기는 직각삼각형과 닮음을 활용하고, 15번은 대칭과 거리 조건으로 점을 정한 뒤 원으로 이어집니다. 21번은 기하 조건으로 가능한 직선 방향을 나눈 후 접선 조건을 적용하는 방식입니다.

도형의이동과 직선의방정식도 독립된 계산으로 끝나지 않습니다. 18번은 대칭된 곡선의 교점 조건과 연결되고, 19번은 정점을 지나는 직선과 거리의 최댓값으로 이어집니다. 따라서 단원별 공식을 외운 뒤 서로 다른 단원으로 표현을 바꾸는 연습까지 진행하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 어려움 분류 증가

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항 수와 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준으로 어려움은 9문항에서 11문항으로 늘었습니다. 작년에는 19번이 보통이었지만 올해는 서술·단답형 전체가 어려움으로 분류되어, 마지막까지 풀이 근거를 정리할 여유를 남기는 것이 중요합니다.

여러가지부등식은 5문항에서 6문항으로, 도형의이동은 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 원의방정식과 직선의방정식의 문항 수는 유지되었고, 평면좌표는 4문항에서 3문항으로 바뀌었습니다. 작년 자료에 별도 분류된 이차함수는 올해 단원 목록에 없지만, 올해 해설에도 곡선과 판별식의 활용이 나타나므로 함수 해석을 배제해서는 안 됩니다.

어려움 문항은 작년에도 객관식 후반에 이어졌으며, 올해는 12번과 19번도 해당 분류에 들어갑니다. 이는 개별 문항의 체감 난도를 직접 비교한 결과가 아니라 자료의 분류 비교입니다. 대비할 때는 부등식의 경계 처리와 대칭·접선의 조건 해석을 우선 묶어서 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산으로 얻은 후보를 그대로 확정할 수 없다는 것입니다. 가능한 경우를 빠짐없이 나누고, 끝점·유일성·도형의 존재 조건으로 돌아오는 검토가 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본형을 정확하게 처리하고, 10~12번에서 막히면 13번까지 확인하세요. 후반 객관식을 모두 끝내고 서술·단답형을 시작하기보다 전체 문항의 출발점을 훑는 연습을 권합니다. 풀이가 보이는 문제와 경우 정리에 시간이 필요한 문제를 구별해 두면 남은 시간을 배분하기 쉽습니다.

서술·단답형은 식을 많이 쓰기 전에 근거를 짧게 정리하세요. 19번은 직선이 지나는 정점과 거리 최대의 등호 조건, 20번은 항상 성립하는 조건과 유일성, 21번은 가능한 직선 방향과 접선 조건을 구별해 적습니다. 연습할 때는 처음 관계식을 세우는 데 걸린 시간을 따로 기록해 보세요.

검토에서는 6번의 분모 조건, 9번의 경로 순서, 12번의 외분점 위치를 우선 확인하세요. 14·16번은 수직선의 끝점 포함 여부를, 15·21번은 삼각형이 실제로 만들어지는지를 살펴야 합니다. 17번처럼 최대를 구하는 문항은 상한을 구한 뒤 그 값이 실제로 달성되는지까지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부등식의 기본 해석부터 정리하세요. 해집합의 교집합, 이차식의 부호, 판별식의 등호 여부를 수직선과 그래프로 설명해 보세요(1·4·7번 대비).
2. 내분·외분과 거리 공식을 도형의 성질과 묶어 연습하세요. 각의 이등분선과 무게중심을 먼저 찾고 외분점의 위치를 표시하세요(3·8·12번 대비).
3. 평행이동과 대칭이동을 좌표로 정리한 뒤 최소 경로와 곡선의 교점으로 확장하세요. 변환 전후의 점과 방정식을 구분해 쓰세요(2·9·18번 대비).
4. 원의 자취와 접선을 함께 복습하세요. 거리비를 방정식으로 바꾸고 접점의 수직 관계, 닮음, 중심과 직선 사이의 거리를 연결하세요(5·10·11·15·21번 대비).
5. 정수해 문제는 후보 정수와 제외 구간을 분리해 정리하세요. 절댓값의 구간 분할을 마친 뒤 경계가 움직일 때 개수가 어떻게 바뀌는지 확인하세요(14·16번 대비).
6. 정점과 최댓값, 유일성 조건을 설명하는 연습으로 마무리하세요. 최대가 달성되는 이유와 후보를 원래 조건에 대조하는 과정을 짧은 문장으로 쓰세요(6·13·17·19·20번 대비).