분당대진고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

분당대진고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

분당대진고등학교의 소재지는 경기 성남시입니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 무리함수, 유리함수, 함수, 합성함수와역함수, 원의방정식입니다. 함수 그래프를 읽는 문제와 유한한 경우를 세는 문제가 함께 배치되어 있습니다.

함수 문항은 같은 단원에서도 접근 방식이 다릅니다. 극값을 구할 때 치환한 변수의 범위를 정하거나, 교점 문제를 방정식의 실근 조건으로 옮겨야 합니다. 경우의 수에서는 자리의 조건과 함수의 대응 조건을 해석한 뒤 독립적으로 선택할 수 있는 대상을 구별해야 합니다.

서술·단답형인 19번은 치환과 범위 설정, 21번은 함숫값의 대소와 조합을 연결합니다. 계산 결과에 도달하는 것뿐 아니라 왜 그 범위를 쓰고 왜 그 경우를 세는지 설명하는 연습이 필요합니다. 객관식에서도 같은 논리 정리가 풀이의 출발점이 됩니다.

난이도 분포 — 중간의 조건 해석과 후반의 연속된 어려움

쉬움으로 분류된 문항은 약수의 개수와 곱의 법칙을 다루는 4번입니다. 보통 문항인 1·2·3·5번도 절댓값, 합성의 입력값, 교점의 중점, 그래프의 대칭성을 구별해야 합니다. 초반부터 식의 의미를 정확히 읽는 것이 중요합니다.

6·7번에서 그래프의 일부와 역함수 조건을 다룬 뒤 8·9번은 경우의 수의 기본 분류로 돌아옵니다. 10·11번에서 함수의 대응 조건이 까다로워지더라도 12·15번의 보통 문항을 확인하세요. 번호가 커질수록 난도가 계속 높아지는 배열로 생각하면 풀이 기회를 놓칠 수 있습니다.

16~21번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 실근의 개수, 극값, 도형과 곡선의 만남, 함수의 개수처럼 서로 다른 형태의 조건 처리가 이어집니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니므로, 본인이 조건 정리에 오래 걸리는 유형을 따로 표시해 연습하세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 그래프의 조건

순열조합은 약수 세기에서 자연수의 자리 조건, 전사인 함수의 개수, 극값이 지정된 함수의 개수까지 연결됩니다. 공식을 먼저 선택하기보다 기준이 되는 값을 고정하고 남은 선택의 수를 적어 보세요. 특히 범위의 끝부분만 별도로 나눠야 하는 문제를 준비할 필요가 있습니다.

무리함수는 절댓값이 포함된 극값부터 역함수, 대칭성, 직선 및 도형과의 위치 관계까지 폭이 넓습니다. 유리함수도 점근선 확인에 그치지 않고 교점의 중점, 기울기의 범위, 치역과 판별식, 치환을 통한 극값을 다룹니다. 그래프와 방정식을 서로 바꾸어 설명하는 연습이 효과적입니다.

함수 단원에서는 일대일성과 공역·치역의 관계가 중요합니다. 6번은 단원 분류가 원의방정식이지만 근호식을 원의 일부로 해석하는 연결이 핵심입니다. 단원 이름만 보고 풀이 도구를 한정하지 말고, 식을 변형했을 때 나타나는 도형과 정의역을 함께 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 난이도 분포는 같고 단원 구성은 변화

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 21문항과 자동 분류 기준 쉬움 1문항, 보통 8문항, 어려움 12문항이라는 구성은 같습니다. 서술·단답형은 작년 19·20·21번에서 올해 19·21번으로 바뀌었습니다. 난이도별 문항 수만으로 올해가 더 쉬워졌다고 판단하기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 모두 순열조합이지만 작년 13문항에서 올해 6문항으로 줄었습니다. 무리함수는 4문항에서 5문항, 유리함수는 2문항에서 5문항으로 늘었습니다. 올해에는 함수와 합성함수와역함수도 포함되어, 순열조합에 집중하기보다 함수의 대응과 그래프 해석을 함께 준비할 필요가 있습니다.

작년에는 4번부터 어려움이 등장했고 올해에는 6번부터 등장합니다. 두 시험 모두 16~21번은 자동 분류 기준 어려움으로 이어집니다. 후반에 시간을 남기는 연습은 유지하면서, 올해 자료를 공부할 때에는 무리함수의 교점 조건과 유리함수의 치역·극값을 별도 과제로 묶어 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산할 대상을 정하기 전에 허용 범위와 분류 기준을 확정해야 한다는 점입니다. 오답을 복습할 때에도 계산 실수와 조건 설정의 실수를 구별해 기록하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 6·7번에서 그래프 조건 정리가 길어지면 표시하고 8·9번을 확인하는 방식이 좋습니다. 10·11번을 지나서도 12·15번에 보통 문항이 있으므로, 한 문항에서 막혔다고 남은 객관식을 모두 뒤로 미루지 마세요.

서술·단답형인 19·21번은 전체를 훑을 때 함께 읽어 두세요. 19번은 치환한 변수의 범위와 함수의 증감을, 21번은 경우 분류와 각 경우의 선택 근거를 먼저 적으면 풀이의 방향을 잡을 수 있습니다. 연습에서는 조건 정리와 계산에 쓴 시간을 따로 기록해 자신에게 필요한 여유를 확인하세요.

검토할 때에는 근호식의 정의역, 제곱 전 부호, 분모의 제한을 우선 보세요. 7·18번은 교점이 합쳐지는 경계, 17번은 이차항이 사라지는 경우, 20번은 접점이 선분에 속하는지가 중요합니다. 경우의 수에서는 14번의 상한과 21번의 엄격한 대소 조건을 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 절댓값과 근호가 있는 식의 범위를 먼저 구하세요. 구간의 끝점뿐 아니라 내부에서 극값이 나오는지도 점검하세요(1번 대비).
2. 합성함수의 입력을 거꾸로 찾고 일대일성과 공역·치역의 차이를 설명해 보세요. 증가와 감소에 따른 끝점 대응도 나누세요(2·10·11·12번 대비).
3. 유리함수는 점근선과 대칭성에서 출발해 교점의 중점과 기울기 해석으로 확장하세요. 좌표를 모두 구하지 않고 필요한 관계만 얻는 연습을 하세요(3·5·13번 대비).
4. 무리함수와 역함수의 정의역을 함께 적고 교점 문제를 방정식으로 옮기세요. 제곱 전후 조건과 경계의 포함 여부를 확인하세요(6·7·16·18·20번 대비).
5. 치환한 변수의 범위와 실근 존재 조건으로 치역을 구하는 방법을 연습하세요. 일반적인 경우와 식의 차수가 낮아지는 예외를 나누세요(17·19번 대비).
6. 경우의 수는 기준값을 고정한 표를 만들고 합의 법칙과 곱의 법칙을 구별하세요. 자리 조건에서 함수의 분배와 극값 조건으로 확장하며 분류 이유를 문장으로 쓰세요(4·8·9·14·15·21번 대비).