휘문고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

휘문고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

휘문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 증가·감소와 극값에서 출발해 적분으로 정의된 함수와 운동의 해석까지 다룹니다.

도함수의 근을 찾는 계산만으로 풀이가 끝나지 않습니다. 도함수가 사라지는 점에서 실제로 부호가 바뀌는지, 절댓값을 취했을 때 극대와 극소가 어떻게 달라지는지 확인해야 합니다. 그래프를 결합하거나 도형의 공통 넓이를 함수로 만드는 문항도 있어 식을 세우기 전의 해석이 중요합니다.

적분에서도 고정된 구간의 적분값을 상수로 두는 문제와 끝점이 변하는 적분을 미분하는 문제가 함께 나옵니다. 객관식과 서술·단답형이 번호상 완전히 분리되어 있지 않으므로, 전체 문제를 훑으며 접근 가능한 유형과 풀이 근거를 길게 정리할 유형을 먼저 구분하세요.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 11번은 도함수를 적분한 뒤 함수값 조건으로 적분상수를 정하는 문항입니다. 보통 문항에서는 최대·최소, 롤의 정리, 정적분의 성질처럼 기본 개념의 적용 조건을 확인합니다. 특히 1번의 정지점과 극점 구별, 3번의 열린구간 조건은 계산이 익숙해도 놓치기 쉽습니다.

7번에서 함수 관계식을 미분계수의 정의로 해석해야 하고, 9·10번에서는 절댓값의 극값과 도형의 넓이를 다룹니다. 그 뒤 11~14번에는 쉬움·보통 문항이 배치되어 있으므로 앞부분에서 막혔다고 서술·단답형까지 모두 어렵다고 판단하지 않는 것이 좋습니다.

15~20번은 모두 어려움으로 분류됩니다. 구간 분할, 근의 부호, 함수 선택의 경계, 중근 조건을 차례로 다루어 후반의 집중력이 필요합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 연결

도함수의활용은 최댓값·최솟값뿐 아니라 방정식의 실근, 운동 방향, 도형의 넓이까지 포함합니다. 16번은 극값의 높이를 실근의 부호 조건으로 연결하고, 17·19·20번은 함수식을 구간별로 읽거나 근의 중복을 살펴야 합니다. 미분 계산 이후에 부호표와 간단한 그래프를 붙이는 연습이 필요합니다.

정적분은 4번의 상수 치환, 12번의 차함수와 대칭 구간, 14번의 적분 등식 미분으로 접근법이 나뉩니다. 15번에서는 매개변수에 따라 절댓값을 풀어야 하고, 18번에서는 도함수의 적분을 극값의 차로 해석합니다. 적분 공식을 많이 계산하는 연습과 함께 각 문제에서 무엇을 적분하는지 구별하세요.

부정적분의 6·11번은 미분과 적분의 역관계를 확인합니다. 운동 문제인 5·13번은 각각 속도의 적분과 위치의 미분을 사용합니다. 위치, 속도, 위치 변화량을 연결하되 운동 방향을 묻는 경우에는 좌표가 아닌 속도의 부호를 판단해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄었지만 후반 부담은 유지

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수와 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 10문항에서 9문항으로 줄고 보통은 9문항에서 10문항으로 늘었습니다. 다만 이 변화만으로 실제 시험이 쉬워졌다고 단정하기보다 배치와 조건 처리의 부담을 함께 보아야 합니다.

도함수의활용은 두 해 모두 12문항으로 가장 많습니다. 정적분은 작년 3문항에서 올해 5문항으로 늘었고, 부정적분은 모두 2문항입니다. 정적분의활용은 2문항에서 1문항으로 줄었습니다. 대비의 중심은 도함수 활용에 두되 적분 등식과 절댓값 적분을 함께 보강하는 편이 좋습니다.

작년에는 13~20번이 모두 어려움에 해당했지만 올해는 13·14번이 보통이고 15~20번에 어려움이 이어집니다. 어려움이 처음 등장하는 위치도 작년 5번에서 올해 7번으로 달라졌습니다. 후반을 일괄적으로 미루지 말고 각 문항의 시작 방법을 확인하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 하나의 미분식으로 전체를 처리하기 어렵다는 것입니다. 구간 경계와 중근 후보를 먼저 표시하고, 계산 뒤 원래 조건을 만족하는지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 기본 접근이 바로 떠오르는 문제를 확보하세요. 7·9·10번의 조건 해석이 길어지면 표시해 두고 11~14번을 확인하는 운영이 가능합니다. 실제 제한 시간에 맞춘 연습에서는 계산이 오래 걸렸는지, 식을 세우는 데 오래 걸렸는지 구분해 기록하세요.

15~20번에서는 계산 전에 경우를 나누는 기준을 적어 두세요. 15번은 절댓값 내부의 부호가 바뀌는 위치, 17번은 선택되는 함수의 경계, 19번은 공통 높이가 달라지는 위치가 출발점입니다. 서술·단답형에서는 그 기준과 적용 범위를 함께 남겨야 풀이를 검토하기도 쉽습니다.

마지막 검토는 부호와 경계에 집중하세요. 1번은 정지점과 극점, 5번은 초기 위치와 좌표 차의 순서, 12번은 적분 방향, 13번은 시간의 범위를 확인하세요. 16번은 근이 합쳐지는 경계가 허용되는지, 20번은 원래 함수와 절댓값 함수의 조건을 섞지 않았는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 인수분해와 부호표부터 정리하세요. 정지점, 극점, 닫힌구간의 최대·최소를 구별하며 전 구간 부등식으로 확장하세요(1·2·8번 대비).
2. 미분계수의 정의와 정리의 적용 조건을 복습하세요. 함수 관계식을 차분 몫으로 바꾸는 연습과 열린구간 확인을 함께 하세요(3·7번 대비).
3. 미분과 적분의 역관계, 초기 조건, 적분 변수의 역할을 확인하세요. 고정 구간의 상수 치환에서 변수 끝점의 적분 등식으로 확장하세요(4·6·11·14번 대비).
4. 위치와 속도는 미분·적분으로 연결하고, 정적분에서는 구간 방향과 대칭성을 먼저 확인하세요(5·12·13번 대비).
5. 절댓값 적분과 도형의 넓이를 함수로 나타내세요. 부호가 바뀌는 지점과 매개변수의 허용 범위를 정한 뒤 계산하세요(10·15·18번 대비).
6. 극값과 실근, 절댓값, 그래프 선택을 묶어 연습하세요. 구간 경계와 중근 후보까지 검토하며 조건별로 그래프를 스케치하세요(9·16·17·19·20번 대비).