문현고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

문현고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 정적분과 그 활용입니다. 함수의 증감과 극값을 읽는 미분 문제에서 넓이와 운동을 해석하는 적분 문제까지 연결됩니다.

단순히 미분하거나 적분하는 것보다 주어진 조건을 계산 가능한 형태로 바꾸는 일이 중요합니다. 극한은 함숫값과 기울기로, 두 점의 운동은 속도와 위치 차로, 정적분 조건은 그래프의 높이 차로 바꾸어야 합니다. 식의 모양만 보고 공식을 적용하면 서로 다른 양을 혼동하기 쉽습니다.

서술·단답형 19~21번은 기함수의 정적분, 닫힌구간의 절댓값 부등식, 넓이 이등분을 다룹니다. 자동 분류 기준 보통이지만 대칭에 따른 부호와 끝점 비교, 교점의 범위를 설명할 수 있어야 합니다. 답을 얻는 계산과 그 계산이 가능한 조건을 함께 정리하세요.

난이도 분포 — 객관식 후반의 그래프와 구간 해석

쉬움인 1·2번은 도함수의 부호와 정적분의 기본 성질을 확인합니다. 보통 문항에서는 닮음으로 변화율을 세우는 3번, 곱의 미분을 거꾸로 읽는 4번처럼 출발 아이디어를 선택해야 합니다. 기본 계산이 익숙하더라도 무엇을 미분하거나 적분할지 먼저 정해야 합니다.

12번에서 주기함수의 적분이 등장한 뒤 13·14번은 보통으로 돌아옵니다. 15~18번은 자동 분류 기준 어려움이 연속되며 도함수 그래프, 절댓값 그래프, 적분으로 정의된 함수를 다룹니다. 이 구간의 공통 부담은 계산량만이 아니라 구간과 경계 상황을 빠짐없이 나누는 데 있습니다.

난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 다만 후반 객관식을 모두 해결한 다음 서술·단답형으로 넘어가면 접근 가능한 문제의 시간이 부족해질 수 있습니다. 전체 문항을 훑고 자신이 조건을 바로 정리할 수 있는 문제부터 확보하세요.

출제 단원 — 도함수의 활용과 정적분이 중심

도함수의활용은 증감뿐 아니라 변화율, 운동, 항상 성립하는 부등식, 실근 개수로 넓게 나뉩니다. 특히 13·20번은 최솟값 또는 최댓값을 부등식의 조건으로 바꾸는 연습이 필요합니다. 극점을 구하는 데서 멈추지 말고 정의역과 비교 대상까지 연결하세요.

정적분은 계산 성질부터 적분으로 정의된 함수의 그래프까지 이어집니다. 4번은 곱의 미분 구조, 14·19번은 대칭성, 17·18번은 그래프와 구간 분할이 핵심입니다. 같은 단원 안에서도 접근법이 달라 계산형 문제만 반복하는 것으로는 충분하지 않습니다.

정적분의활용에서는 넓이와 운동을 함께 준비해야 합니다. 6·8·21번은 경계와 위아래 관계를, 10·11번은 위치 차와 이동 거리를 구별하는 능력을 확인합니다. 별도 단원인 5번의 미분계수 해석도 그래프의 기울기를 읽는 기본으로 연결됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 쉬움이 줄고 객관식 후반에 어려움이 집중

작년과 올해 모두 수학II입니다. 총 문항은 23문항에서 21문항으로 줄었고 서술·단답은 3문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 7문항에서 2문항으로 줄고 보통은 12문항에서 14문항, 어려움은 4문항에서 5문항으로 늘었습니다. 문항 수 감소만으로 풀이 부담도 줄었다고 판단하기 어렵습니다.

도함수의활용은 8문항에서 7문항, 정적분은 5문항에서 7문항, 정적분의활용은 7문항에서 6문항으로 바뀌었습니다. 겹치는 단원 가운데 정적분의 비중이 커졌으므로 기본 적분 계산에 더해 대칭성이나 적분으로 정의된 함수를 읽는 연습을 보강하세요.

작년 어려움은 18·19·20·23번으로 서술·단답에도 있었지만 올해는 12·15·16·17·18번으로 모두 객관식에 있습니다. 작년의 번호 배치를 기준으로 시간을 나누지 말고, 올해처럼 중간에 어려움이 먼저 등장하는 구성에서도 다음 문제로 이동하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 세 문항은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 순위는 아닙니다. 공통적으로 그래프가 바뀌는 경계를 먼저 정리해야 하므로, 계산 전에 간단한 개형과 경우 구분을 남기는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2번의 기본 성질과 접근이 바로 보이는 보통 문항을 먼저 처리하세요. 12번의 주기 해석에서 막혀도 13·14번을 이어서 확인하고, 15~18번에 들어가기 전에 19~21번의 서술·단답형도 살펴보세요. 연습할 때는 오래 붙잡은 문항에서 계산이 막혔는지 경우 구분이 막혔는지 구별해 기록하는 것이 좋습니다.

운동 문항은 구하려는 양을 먼저 적으세요. 3번은 그림자 끝의 위치, 9번은 속도의 부호 변화, 10번은 두 점의 위치 차, 11번은 위치와 변화량 및 이동 거리를 구별해야 합니다. 같은 적분 계산도 처음 좌표를 더해야 하는지, 절댓값이 필요한지에 따라 의미가 달라집니다.

마지막 검토에서는 경계 조건을 우선 확인하세요. 12번은 남은 주기 구간의 시작점, 16번은 접하는 교점의 중복, 18번은 적분을 나누는 기준이 중요합니다. 20번에서는 극값과 양 끝값을 모두 비교했는지, 21번에서는 교점이 도형 내부에 있고 적분식이 실제 이등분되는 부분을 나타내는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호와 미분계수의 의미부터 복습하세요. 극한 조건을 함숫값·기울기로 바꾸고 증감표를 그리세요(1·5·9번 대비).
2. 정적분의 선형성과 미분의 역관계를 익히세요. 곱의 미분 구조를 찾고 적분변수와 바깥 변수를 구별하세요(2·4·7번 대비).
3. 넓이와 운동에서 부호를 따로 점검하세요. 교점이나 속도의 부호 변화 지점을 먼저 찾은 뒤 적분식을 세우세요(3·6·8·10·11번 대비).
4. 주기와 대칭성으로 적분 구간을 옮기는 연습을 하세요. 이동한 구간과 적분의 부호를 함께 표시하세요(12·14·19번 대비).
5. 극값을 부등식과 실근 개수로 연결하세요. 전체 정의역에서의 성립 여부와 접하는 경계를 검사하세요(13·15·16·20번 대비).
6. 적분으로 정의된 함수의 증감과 구간별 식을 정리하세요. 넓이 조건을 높이 차 또는 이등분 관계로 바꾸는 단계까지 연습하세요(17·18·21번 대비).