정신여자고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

정신여고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

정신여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 접선과 극값부터 운동, 역함수의 넓이, 적분으로 주어진 함수 관계까지 미분과 적분의 여러 활용을 확인합니다.

기본 계산을 정확히 수행하는 능력과 조건을 그래프로 해석하는 능력이 함께 필요합니다. 접선의 절편을 구하는 1번과 부정적분을 계산하는 15번에서 출발해, 11번에서는 새 함수의 극값 유무를 판단하고 14번에서는 최댓값으로 정의된 함수를 다시 적분합니다.

서술·단답형이 마지막에 연속으로 모인 구성이 아니라는 점도 중요합니다. 15번은 기본 적분, 18번은 역함수 대칭을 이용한 넓이, 19번은 정적분 등식의 미분입니다. 앞선 어려움 문항에 오래 머무르기보다 이 문항들의 풀이 가능성을 먼저 확인하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 보통 중심, 중후반에 모인 어려움

쉬움으로 분류된 1·3·15번도 확인할 조건이 분명합니다. 접선의 기울기를 절편으로 혼동하지 않고, 움직인 거리에서는 속도의 부호를 나누며, 부정적분에는 적분상수를 표시해야 합니다. 기본 문항에서 풀이를 짧고 정확하게 마치는 것이 시간 확보의 출발점입니다.

보통 구간은 단순 계산만으로 묶기 어렵습니다. 6번은 역함수의 적분을 도형의 넓이로 바꾸고, 8번은 접선으로 만든 넓이를 미분계수와 연결합니다. 12·19번은 적분 등식을 미분하는 문항이므로, 익숙한 변형을 알아보는 속도가 중요합니다.

11번 이후에는 어려움 문항 사이로 보통 문항과 쉬움 문항이 섞입니다. 번호가 커질수록 일괄적으로 어려워지는 구조로 받아들이면 15·18·19·20번을 살펴볼 기회를 놓칠 수 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난이도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 그래프 해석

도함수의 활용이 가장 큰 비중을 차지합니다. 접선, 운동 방향, 닫힌구간의 최대·최소, 증가 조건, 극값과 실근 개수까지 유형이 넓습니다. 도함수의 영점을 찾은 뒤 원래 함수의 어떤 성질을 결론 내려야 하는지 구별하는 연습이 필요합니다.

정적분의 활용에서는 거리와 넓이의 부호 처리가 바탕이 됩니다. 6·18번은 역함수와의 대칭을 활용하며, 20번은 접선의 교점에 따라 넓이 계산을 나눕니다. 적분식부터 쓰기보다 그래프에서 경계와 위아래 관계를 표시하세요.

정적분은 문항 수만 보고 가볍게 볼 수 없습니다. 14번은 움직이는 구간의 최댓값을 함수로 구성하고, 16번은 불연속 조건과 정적분 조건을 함께 해석해야 합니다. 부정적분의 7번 역시 곱의 미분 구조를 알아보는 연결 문제입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답 감소와 정적분 활용의 확대

작년과 올해 모두 수학II입니다. 총 문항과 서술·단답형은 줄었으며, 자동 분류 기준 어려움도 6문항에서 5문항으로 줄었습니다. 다만 쉬움도 6문항에서 3문항으로 줄고 보통은 늘었으므로, 어려움 개수만으로 시험 전체가 수월해졌다고 판단하기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 도함수의 활용으로 같지만, 정적분의 활용은 작년 2문항에서 올해 5문항으로 늘었습니다. 정적분은 작년 7문항에서 올해 4문항으로 줄었습니다. 따라서 미분 활용을 중심에 두면서도 역함수의 넓이와 접선으로 둘러싸인 넓이를 충분히 연습할 필요가 있습니다.

작년 어려움 문항은 13·14·18·19·21·22번으로 후반 서술·단답형에도 걸쳐 있었습니다. 올해는 11·13·14·16·17번이며 모두 객관식입니다. 다음 대비에서는 객관식의 조건 해석에 시간을 쓰더라도 서술·단답형을 먼저 확보할 수 있도록 풀이 순서를 점검하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 주어진 식을 바로 계산하기보다 조건으로 함수의 형태를 정하는 과정이 앞섭니다. 도함수의 영점, 최댓값을 주는 위치, 불연속이 가능한 위치를 먼저 표시하는 습관을 들이세요. 여기서 고른 문항은 자동 분류와 풀이 구조에 따른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확정한 난도 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접선·운동·기본 적분처럼 접근이 분명한 문항을 먼저 마치세요. 11·13·14번에서 조건을 나눌 기준이 잡히지 않으면 현재 확인한 성질만 적어 두고 다음 문항을 살펴보는 편이 좋습니다. 실제 제한 시간에 맞춘 연습에서 계산 시간과 조건 해석 시간을 따로 기록하면 재풀이 순서를 정하기 쉽습니다.

15·18·19번 서술·단답형은 자동 분류 기준 쉬움 또는 보통입니다. 15번의 적분상수, 18번의 대칭과 넓이 관계, 19번의 대입 및 미분 근거를 빠짐없이 적을 시간을 남기세요. 마지막 20번도 보통 문항이므로 접선 계산과 넓이 구간을 확인하기 전에 건너뛰지 마세요.

조건 점검은 문항별로 구체적으로 하세요. 2번은 속도가 사라지는 시각과 실제 방향 전환을 구별하고, 4번은 구간의 양 끝값을 비교해야 합니다. 8번의 제외된 접선, 9번의 도함수가 잠시 영이 되는 경계, 13번의 극점 순서, 17번의 치환 변수 범위도 풀이 마지막에 다시 확인할 대상입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 계산부터 안정시키세요. 접점에서 기울기와 절편을 구하고, 다항식을 적분한 뒤 미분으로 검산합니다. 적분상수도 답안에 포함하세요(1·15번 대비).
2. 부호표를 공통 도구로 익히세요. 속도의 부호로 방향과 거리를 판단하고, 도함수의 부호로 증가·감소와 극값을 구분합니다(2·3·4·9·10번 대비).
3. 적분 등식은 대입할 지점을 먼저 찾고 미분하세요. 곱의 미분 구조와 적분 변수·상한의 차이를 설명하며 풀어 보세요(7·12·19번 대비).
4. 넓이는 그래프와 경계부터 정하세요. 역함수의 대칭, 곡선과 직선의 위아래 관계, 접선 교점에 따른 구간 분할을 차례로 연습합니다(5·6·18·20번 대비).
5. 극값 조건을 확장하세요. 도함수의 중근과 부호 변화, 매개변수에 따른 극점 순서, 치환한 뒤의 원래 해 개수를 함께 점검합니다(11·13·17번 대비).
6. 새롭게 정의된 함수를 그리는 연습으로 마무리하세요. 움직이는 구간의 최댓값과 누적 적분의 부호를 그림에 표시한 뒤 조건을 식으로 바꿔 보세요(14·16번 대비).