보평고등학교
2022년 1학년 2학기 중간고사

보평고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

보평고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 출제 단원은 집합, 도형의이동, 원의방정식, 명제, 절대부등식입니다. 좌표평면의 도형과 집합·논리를 함께 다루며, 원의 넓이를 소재로 산술평균과 기하평균의 관계를 적용하는 문항도 포함됩니다.

단원의 기본 개념을 알고 있어도 문제의 표현을 바꾸지 못하면 풀이가 길어질 수 있습니다. 평행이동은 좌표 대입의 부호를, 거리의 최댓값과 최솟값은 중심과 반지름의 관계를 먼저 살펴야 합니다. 집합에서는 식을 기계적으로 정리하기보다 반드시 들어갈 원소와 선택 가능한 원소를 구분하는 접근이 유용합니다.

서술·단답형은 도형의 이동, 자취와 최솟값, 귀류법으로 구성되어 있습니다. 계산 결과에 도달하는 것과 함께 그 결과가 가능한 이유를 설명하는 연습이 필요합니다. 특히 거리 부등식의 등호 성립과 증명에서 모순이 되는 가정을 명확히 적어 두세요.

난이도 분포 — 중후반의 도형 해석과 집합 조건

쉬움으로 분류된 1·2·4번은 집합의 상등, 드모르간의 법칙, 직선의 평행이동을 확인합니다. 기본형이지만 방정식의 해를 집합의 원소로 읽거나 원의 중심을 구하는 연결 과정이 있습니다. 익숙한 공식도 적용 대상과 부호를 먼저 확인해야 합니다.

보통 문항은 초반의 3·5~8번과 후반의 14·19번에 있습니다. 명제에서는 모든 경우에 성립한다는 조건과 일부에서 성립한다는 조건의 차이가 중요합니다. 14번은 부등식의 등호 성립을, 19번은 귀류법의 가정과 모순을 확인해야 하므로 후반에 남은 시간을 계산에만 쓰지 않도록 하세요.

자동 분류 기준 어려움 문항은 9~13번에서 이어지고 15~18번에 다시 나타납니다. 도형 조건을 식으로 바꾼 뒤 가능한 위치나 원소의 중복을 검사하는 단계가 부담을 만듭니다. 이 분류를 실제 응시자의 체감 난도와 동일하게 볼 수는 없지만, 연습할 때 조건 변환과 검산 시간을 따로 확보할 근거로 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 집합과 도형의이동의 높은 비중

집합은 기초 연산에서 조건 해석으로 확장됩니다. 10번은 차집합의 관계로 필수 원소를 찾고, 15번은 자연수 조건을 약수와 범위 조건으로 바꿉니다. 16번은 원과 직선의 교점에서 만들어진 집합을 다루므로, 집합 단원만 따로 공부해서는 풀이의 출발점을 놓치기 쉽습니다.

도형의이동과 원의방정식은 서로 연결해 준비할 필요가 있습니다. 4·6번의 평행이동에서 시작해 9번의 축에 접하는 원, 12·17번의 대칭이동을 이용한 거리 문제로 이어집니다. 11·13·18번에서는 자취나 넓이 조건을 원과 직선의 위치 관계로 해석하는 능력이 중요합니다.

명제는 5·7·8번의 조건 판단과 19번의 증명으로 구성됩니다. 진리집합의 포함 방향을 이해하고 반례를 찾는 연습을 한 뒤, 귀류법의 논리 순서를 정리하세요. 절대부등식은 출제 문항 수가 적어도 양수 조건과 등호 성립을 함께 확인하는 기본기를 점검하는 역할을 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 구한 다음 위치·경계·중복을 추가로 확인해야 합니다. 연습할 때는 계산 옆에 그림이나 경우표를 붙여 어떤 조건을 아직 검사하지 않았는지 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념이 바로 보이는 문항을 확보하고, 9~13번에서 접근이 막히면 표시해 두세요. 14번은 자동 분류 기준 보통이므로 앞선 도형 문항에 시간이 묶여 함께 넘기지 않도록 주의하세요. 서술·단답형도 전체를 먼저 훑어 19번의 증명에 필요한 시간을 확보하는 편이 좋습니다.

도형 문항에서는 계산 전에 움직이는 대상과 고정된 대상을 구분하세요. 9번은 원과 함께 주어진 점을 이동시켜야 하고, 12·17번은 대칭이동한 경로가 원래 경로와 같은 길이를 갖는 이유가 중요합니다. 13·16번은 접하는 경계에서 개수가 달라지므로 대략적인 그림만으로 판단하지 마세요.

검토 시간에는 계산을 처음부터 반복하기보다 조건 누락을 찾으세요. 5·7번은 부등호의 경계와 포함 방향, 15번은 자연수와 전체집합의 범위, 14·17번은 등호의 동시 성립을 확인하세요. 19번에서는 마지막 문장이 처음의 서로소 가정과 모순을 이루는지 읽어 보면 논리의 빠진 부분을 찾기 쉽습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합의 상등과 드모르간의 법칙을 복습한 뒤, 차집합 조건을 원소의 소속 여부로 풀어 쓰세요. 반드시 들어가는 원소를 먼저 표시하는 습관을 들이세요(1·2·10번 대비).
2. 원의 중심과 반지름을 읽는 연습에서 시작해 직선과 원의 평행이동을 연결하세요. 점의 이동과 방정식의 대입을 나란히 적어 부호를 확인하세요(3·4·6·9번 대비).
3. 명제의 진리집합을 수직선에 그려 존재 조건과 포함 관계를 구별하세요. 필요조건과 충분조건은 양방향 판단과 반례 찾기를 함께 연습하세요(5·7·8번 대비).
4. 거리 비와 거리 제곱의 합을 자취의 방정식으로 바꾸세요. 넓이와 최솟값 문제를 원과 직선의 위치 관계로 다시 표현해 보세요(11·13·18번 대비).
5. 대칭이동으로 꺾인 경로를 펴는 유형을 연습하세요. 거리 부등식을 세운 다음 등호가 가능한 점의 위치를 그림과 문장으로 확인하세요(12·17번 대비).
6. 자연수 조건과 매개변수에 따른 집합을 경우표로 정리하세요. 부등식에서는 양수 조건과 등호 성립을, 증명에서는 가정과 모순의 연결을 별도로 점검하세요(14·15·16·19번 대비).