청담고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

청담고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

자료의 지역 정보는 서울 서초구입니다. 이번 시험에서 확인되는 단원은 집합, 명제, 함수, 합성함수와역함수, 원의방정식, 절대부등식입니다. 집합과 논리의 언어를 함수의 정의와 연결해 이해해야 하는 구성입니다.

원소와 부분집합, 필요조건과 충분조건, 일대일함수와 일대일대응처럼 비슷해 보이는 개념을 구분해야 합니다. 정의를 외운 뒤 짧은 예를 직접 만들어 확인하면 문장이 바뀌어도 판단의 기준을 유지할 수 있습니다.

서술·단답형에는 논리 추론, 유한집합 위 함수의 그래프, 명제의 부정과 이차부등식, 집합의 원소 조건, 증명이 고르게 포함됩니다. 마지막 24번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 번호 순서만으로 풀이 부담을 예상하지 마세요.

난이도 분포 — 기본 개념 사이에 놓인 조건 해석 문제

쉬움 문항은 집합의 기호, 진리집합, 함수의 정의와 기본 합성 계산을 다룹니다. 13번은 증명식의 전개 구조, 14번은 함수의 종류에 따른 개수, 24번은 합성과 역함수 계산입니다. 간단한 문항에서도 부호와 대응 순서를 확인하는 습관을 유지하세요.

보통 구간에서는 조건을 다른 표현으로 바꾸는 과정이 중요합니다. 9번은 교집합의 원소 개수를 원과 직선의 위치 관계로, 11번은 집합 연산을 논리적 포함 관계로 읽어야 합니다. 21번은 명제를 부정한 뒤 부등식의 성립 조건을 검토합니다.

어려움 문항은 연속된 한 구간에만 있지 않습니다. 8번에서 오래 머물렀다면 뒤의 기본형을 먼저 풀고 돌아올 수 있습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 각 학생의 체감 난도는 개념 이해와 증명 연습 정도에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 명제의 논리와 함수의 대응 관계

명제는 진리집합과 참·거짓 판단에서 귀류법과 증명으로 이어집니다. 특히 10번의 존재 조건, 11번의 필요·충분 관계, 21번의 부정은 문장을 집합이나 부등식으로 옮기는 능력을 요구합니다. 계산에 들어가기 전에 무엇이 성립해야 하는지 말로 설명해 보세요.

합성함수와역함수에서는 단순한 함숫값 계산과 성질 판단을 함께 준비해야 합니다. 16번은 유한집합의 크기와 일대일대응을 연결하고, 17번은 그래프 대칭에서 성급한 결론을 내리지 않아야 합니다. 20번은 대응 관계를 읽어 좌표로 옮기는 연습이 필요합니다.

집합은 개념 확인 외에도 포함 관계에 따른 부분집합의 개수, 겹치는 영역의 인원, 배수 관계를 제한한 집합을 다룹니다. 함수의 18번도 집합을 나누는 과정과 함수의 개수를 함께 다루므로 집합과 함수를 분리해서만 공부하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답 확대와 명제 비중 증가

작년과 올해 모두 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 작년 21~24번에서 올해 19~24번으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 11문항에서 올해 5문항으로 줄고 쉬움과 보통은 늘었지만, 서술·단답형에서 근거를 정리할 부담까지 사라진 것은 아닙니다.

작년은 집합 9문항, 합성함수와역함수 7문항, 명제 6문항이었고, 올해는 각각 5문항, 6문항, 8문항입니다. 함수는 작년 1문항에서 올해 3문항으로 늘었습니다. 출제 중심이 집합에서 명제로 옮겨 갔으므로 집합의 계산 연습에 더해 진리집합과 증명 문장을 함께 준비하세요.

작년의 어려움 문항은 10·14~20·22~24번에 있었고 올해는 8·15·16·18·23번입니다. 올해 서술·단답형 마지막 문항은 쉬움으로 분류되어 있습니다. 다음 시험을 준비할 때도 앞에서 막힌 문제를 계속 붙잡기보다 전체를 훑고 접근 가능한 문항부터 해결하는 연습을 권합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 해설의 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 사례 관찰 이후에 일반적인 근거가 필요하다는 것입니다. 복습할 때는 결과보다 조건을 사용한 위치와 빠진 경우가 없는지를 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 집합 기호와 기본 합성 계산처럼 출발점이 분명한 문항부터 처리하세요. 8번의 영역 정리나 15번의 집합 구성에서 진행이 멈추면 표시하고 넘어가세요. 23번의 증명을 끝낸 뒤에야 24번을 확인하는 식으로 순서에 묶이지 않는 것이 좋습니다.

서술·단답형은 계산 전에 핵심 조건을 짧게 적으세요. 19번은 진술의 참·거짓과 소속 여부를 따로 기록하고, 20번은 합성의 입력 순서에 맞춰 대응표를 만드세요. 21번은 부정한 문장의 범위와 부등호를 먼저 확정하면 뒤의 경우 구분이 분명해집니다.

마지막 검토에서는 중복과 경계를 확인하세요. 8번은 교집합과 정확히 해당 과목만 선택한 영역을 구별하고, 10번은 여러 범위에 겹쳐 포함되는 정수를 중복 계산하지 않아야 합니다. 21번의 최고차항 소멸과 엄격한 부등호, 22번의 후보에 대한 교집합 조건 재검사도 놓치기 쉽습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합의 원소 관계와 포함 관계를 구별하고 집합 연산을 말로 풀어 보세요. 필수 원소와 자유롭게 고를 원소를 나누는 연습으로 확장하세요(1·2·22번 대비).
2. 진리집합과 명제의 부정, 필요조건과 충분조건을 함께 정리하세요. 존재 조건은 가능한 범위를 합치고 전체 조건은 빠짐없는 성립 여부를 검사하세요(3·4·10·11·21번 대비).
3. 함수의 정의와 종류를 복습한 뒤 합성의 안쪽부터 계산하는 습관을 만드세요. 역함수의 입력과 출력도 원래 대응으로 확인하세요(5·6·7·14·24번 대비).
4. 유한집합의 대응표와 역함수 그래프를 함께 연습하세요. 성질을 판단할 때에는 가정을 표시하고 틀린 일반화에는 작은 반례를 만들어 보세요(16·17·20번 대비).
5. 집합의 영역별 인원, 배수 관계에 따른 묶음, 함수의 개수 세기를 연습하세요. 경우별 조건과 중복 여부를 표로 기록하세요(8·15·18번 대비).
6. 접선 조건과 완전제곱식의 구조를 복습하고 귀류법의 가정·모순·결론을 문장으로 쓰세요. 논리 퍼즐에서도 같은 추론 순서를 적용하세요(9·12·13·19·23번 대비).