효원고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

효원고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

효원고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 성질을 구간별 그래프와 연결하고, 배열과 선택에 붙은 제한 조건을 구분하는 시험입니다.

초반에는 무리함수의 정의역·치역, 조합 계산, 유리화, 합성 순서 같은 기본기를 확인합니다. 이후에는 역함수의 존재 조건과 교점, 치역의 연결, 좌석 배치의 위치 조건처럼 여러 개념을 연결해야 합니다. 공식을 기억하는 것에 더해 어느 구간과 경우에 적용할지를 판단해야 합니다.

서술·단답형은 무리함수와 순열조합에서 출제되었습니다. 20번은 구간별 함수가 전체 범위에서 역함수를 갖도록 만드는 조건을, 21번은 대소 관계와 홀짝 제한을 함께 다룹니다. 답을 계산하기 전에 조건을 식이나 분류표로 옮기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 이후에도 계속되는 조건 해석

쉬움은 1~4번입니다. 기본형에 해당하지만 1번의 근호 조건, 3번의 유리화 후 소거, 4번의 합성 순서를 정확히 처리해야 합니다. 이 구간에서 복잡한 전개를 반복하기보다 식의 구조를 보고 빠르게 정리하는 것이 후반 풀이 시간을 만드는 출발점입니다.

보통은 5·9·12번에 흩어져 있습니다. 6~8번에서 막혔더라도 색칠하기와 상대적 순서를 다루는 문항을 확인할 필요가 있습니다. 반면 13~21번은 자동 분류 기준 모두 어려움입니다. 하나의 계산보다 구간 분리와 후보 검사가 반복되므로 문항 번호만 보고 풀이 순서를 고정하지 마세요.

이 분포는 자동 분류 기준으로, 실제 응시자의 체감 난도를 확정한 것은 아닙니다. 다만 역함수 조건, 교점 개수, 배열 조건을 빠뜨리면 풀이를 되돌려야 하는 구성이 확인됩니다. 연습에서는 계산 실수와 조건 해석 실수를 구별해 기록하는 편이 도움이 됩니다.

출제 단원 — 합성·역함수와 순열조합의 비중

순열조합은 조합의 기본 계산부터 색칠하기, 비인접 배열, 상대적 순서, 좌석 배치, 자연수의 대소 조건까지 이어집니다. 9번에서는 색을 칠하는 순서에 따라 다음 영역의 선택지가 달라지고, 16번에서는 기준 좌석의 위치에 따라 인접 관계가 달라집니다. 곱의 법칙을 적용하기 전에 선택 가능성이 일정한 경우끼리 묶어야 합니다.

합성함수와역함수는 구간별 함수와 자주 연결됩니다. 6번은 합성함수의 역함수를 정리한 뒤 입력이 속하는 구간을 확인하고, 13번은 일대일대응과 교점 조건을 함께 다룹니다. 18번은 유한집합의 대응을 추적하므로 그래프만 익히기보다 화살표로 합성과 역함수의 관계를 나타내는 연습도 필요합니다.

무리함수는 초반 기본형에서 후반 교점과 역함수 조건으로 확장됩니다. 유리함수 역시 5번의 점근선 활용에서 17·19번의 구간별 그래프 해석으로 이어집니다. 함수 단원으로 분류된 7번도 일대일함수의 개수를 세는 문제이므로, 단원별 공부 뒤에는 함수 조건과 경우의 수를 연결해 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움의 증가와 무리함수의 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 7문항에서 올해 14문항으로 늘고, 쉬움은 9문항에서 4문항으로 줄었습니다. 보통은 3문항으로 같으며 서술·단답형도 각각 2문항입니다. 전체 문항 수의 증가와 함께 조건을 해석해야 하는 문항의 비중도 커진 구성입니다.

작년 순열조합은 7문항, 합성함수와역함수는 5문항이었고 올해는 각각 6문항입니다. 무리함수는 2문항에서 5문항으로 늘었습니다. 함수는 3문항에서 1문항, 유리함수는 2문항에서 3문항으로 바뀌었습니다. 순열조합을 유지하면서 무리함수의 정의역·치역과 그래프 조건을 보강할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 11번에서 시작해 14~19번에 이어졌지만, 올해는 6~8번부터 등장합니다. 후반 문제만 대비하는 방식으로는 중반의 시간 부담을 줄이기 어렵습니다. 구간별 함수와 경우 나누기를 기본형 다음 단계에서부터 연습하고, 막힌 문제 뒤의 접근 가능한 문항을 찾는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 정리한 뒤에도 구간과 경계를 재검사해야 한다는 것입니다. 풀이 옆에 적용 구간을 적고 마지막에 후보를 대조하면, 계산은 맞았지만 조건이 빠진 풀이를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 구조를 정확히 처리하고, 6~8번에서 해석이 길어지면 표시한 뒤 9·12번도 확인하세요. 후반까지 순서대로 모두 해결하겠다는 계획보다 전체 문항에서 출발점이 보이는 문제를 먼저 찾는 편이 적절합니다. 시험 시간이 자료에 없으므로 연습에서는 자신의 풀이 기록을 바탕으로 재방문 시간을 확보하세요.

서술·단답형은 마지막까지 열어 보지 않고 남겨 두지 마세요. 20번은 각 부분의 정의역·치역 표를, 21번은 가운데 수의 일치 여부에 따른 분류를 먼저 적을 수 있습니다. 계산에 앞서 이 구조를 확보하면 풀이를 다시 이어 가기 쉽고, 조건을 만족하는 이유도 정리할 수 있습니다.

검토는 부호와 경계에 집중하세요. 6·15번은 바뀐 입력의 구간, 11·17번은 교점 후보의 범위, 13·20번은 치역의 연결이 중요합니다. 경우의 수에서는 10번의 양 끝자리, 12번의 사이 조건, 16번의 좌석 위치를 다시 읽고, 21번의 같은 수를 허용하는 경우가 누락되지 않았는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 무리식의 유리화와 무리함수의 정의역·치역부터 정리하세요. 그래프 시작점과 이동 방향을 식과 연결해 보세요(1·3번 대비).
2. 합성 순서와 역함수의 대응을 반복해서 확인하세요. 구간별 함수에서는 중간 함숫값을 새 입력으로 표시하고, 유한집합에서는 화살표를 그리세요(4·6·15·18번 대비).
3. 일대일대응의 조건을 각 부분의 증가성과 전체 치역으로 나누어 공부하세요. 경계의 포함 여부를 표로 쓰는 연습이 필요합니다(8·13·20번 대비).
4. 유리함수와 무리함수의 교점은 정의역과 치역부터 확인하세요. 절댓값으로 접히는 부분과 수평선 높이에 따른 교점 변화도 그려 보세요(5·11·14·17·19번 대비).
5. 조건이 있는 경우의 수는 전체에서 제외하기와 직접 경우 나누기를 비교하세요. 일대일 조건, 색의 중복 허용, 비인접 조건을 각각 말로 설명해 보세요(2·7·9·10번 대비).
6. 상대적 순서와 좌석 위치, 같은 수의 허용 여부를 분류하는 문제를 연습하세요. 분류가 겹치지 않고 전체를 덮는지 확인한 뒤 조합과 순열을 적용하세요(12·16·21번 대비).