효원고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

효원고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

효원고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 여러가지부등식입니다. 좌표 계산의 기본기를 바탕으로 도형의 위치와 거리, 부등식이 성립하는 범위를 해석하는 시험입니다.

앞부분에서는 두 점 사이의 거리, 내분점, 평행한 직선, 지름으로 정해지는 원처럼 공식의 의미를 확인합니다. 중반부터는 내분점과 점·직선 사이의 거리를 결합하거나, 외분점과 무게중심의 조건을 연결합니다. 단원별 공식만 따로 외우기보다 앞에서 얻은 좌표를 다음 식에 어떻게 사용하는지 익혀야 합니다.

후반에서는 식을 세우는 것과 조건을 완성하는 것이 구별됩니다. 거리 공식을 쓰고도 최대가 되는 위치를 설명해야 하며, 부등식을 풀고도 교집합이 한 구간인지 확인해야 합니다. 서술·단답형까지 포함해 풀이의 첫 조건과 마지막 검토를 모두 남기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 12번부터 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~6번입니다. 공식 적용이 중심이지만 3번의 항상 성립하는 조건, 5번의 좌표축 조건, 6번의 양수 조건을 빠뜨리면 계산이 맞아도 후보를 잘못 남길 수 있습니다. 초반에는 복잡한 변형보다 문제에서 제한한 대상을 정확히 확인하세요.

보통인 7~11번은 개념을 연결하는 구간입니다. 접선은 중심에서 직선까지의 거리로, 거리의 제곱합은 자취의 방정식으로 바꾸어야 합니다. 9번은 삼각형이 만들어지지 않는 상황을 빠짐없이 나누고, 11번은 필요한 좌표의 결합을 찾는 것이 중요합니다.

어려움은 12~20번에 연속으로 배치되어 있습니다. 경우 분류와 기하적 해석이 길어질 수 있으므로 후반을 모두 같은 방식으로 밀어붙이기 어렵습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 직선의 방정식과 부등식의 결합 조건

가장 많이 나온 직선의방정식은 기본적인 평행 조건부터 거리의 최대, 도형의 넓이까지 폭이 넓습니다. 특히 12·20번에서는 거리 공식을 복잡하게 계산하기 전에 직선이 지나는 점과 수선의 발을 살펴야 합니다. 16번에서는 넓이 조건을 단순한 삼각형 사이의 관계로 옮기는 과정이 핵심입니다.

여러가지부등식은 3번의 판별식 조건이 18번의 양쪽 부등식으로 확장되고, 13·19번에서는 절댓값과 구간 분류가 필요합니다. 14번은 정수해의 합을 다루므로 구간의 길이만으로 정수해를 셀 수 없습니다. 경계가 정수인지, 양 끝이 포함되는지를 함께 확인하세요.

평면좌표에서는 내분·외분과 무게중심이 다른 개념을 연결하는 기반이 됩니다. 원의방정식은 중심과 반지름을 구하는 기본형에서 접선과 접하는 원의 개수로 확장됩니다. 8번은 분류상 평면좌표이지만 원의 표준형으로 정리하는 과정도 포함하므로 두 단원을 연결해 복습하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 후반 조건 처리의 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 출제 단원도 겹칩니다. 자동 분류 기준 보통 문항 수와 서술·단답형 문항 수는 같지만, 쉬움은 줄고 어려움은 늘었습니다. 문항 수의 변화와 함께 후반의 조건 분류를 충분히 연습해야 할 구성이 확인됩니다.

직선의방정식은 작년 6문항에서 올해 7문항, 여러가지부등식은 4문항에서 5문항으로 늘었습니다. 원의방정식은 5문항에서 4문항으로 줄었고 평면좌표는 4문항으로 같습니다. 직선과 부등식의 비중이 커졌지만 원의 접선과 좌표 계산도 계속 필요합니다.

작년의 어려움 문항은 12·14·16·17·18·19번에 있었고 올해는 12~20번에 이어집니다. 올해는 후반에 보통 문항이 끼어 있지 않으므로 초반에서 시간을 확보하는 운영이 더욱 중요합니다. 다음 시험 대비에서는 기본형의 정확도를 먼저 높이고, 거리 최대와 해집합 분류를 시간 제한을 두고 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 구한 뒤에도 구간의 모양, 교점의 중복, 최대의 성립 조건을 확인해야 한다는 것입니다. 계산 전 그림으로 구조를 정리하면 풀이 방향을 점검하기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본형을 정확히 처리하고 7~11번의 연결 유형으로 넘어가세요. 초반 검산은 좌표의 부호와 분점비, 절댓값을 중심으로 짧게 하되 같은 계산을 반복하지 않는 것이 좋습니다. 후반에서 막히면 핵심 조건과 시도한 방법을 표시하고 다른 문항의 출발점을 확인하세요.

12~18번을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 처음 보는 방식은 피하는 편이 좋습니다. 19번은 절댓값 내부의 부호가 바뀌는 경계를, 20번은 최대가 되는 위치의 근거를 먼저 적어 보세요. 연습할 때는 문제별로 식을 세우는 시간과 계산 시간을 구별해 기록하면 어디에서 풀이가 늦어지는지 알 수 있습니다.

마지막 검토에서는 3·18번의 엄격한 부등호와 등호 허용 여부, 13번의 교집합이 나뉘는 경우, 14번의 정수 끝점을 확인하세요. 17번은 사분면 조건과 이미 알려진 교점을 제외하는 과정을 점검해야 합니다. 19번은 각 구간에서 구한 해를 해당 구간과 다시 교차시키고 합칠 때 끝점이 빠지거나 중복되지 않는지 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·내분점·원의 중심과 반지름을 기본 공식에서 다시 정리하세요. 좌표축 위 조건과 양수 조건을 표시하며 계산 실수를 줄이세요(1·4·5·6번 대비).
2. 내분·외분과 무게중심의 좌표를 연결하세요. 모든 좌표를 따로 구하기 전에 필요한 가중합을 바로 얻을 수 있는지 확인하세요(10·11번 대비).
3. 직선의 위치 관계와 접선을 복습하세요. 평행·한 점에서 만남을 구별하고, 수직선의 누락과 사분면에 따른 부호 선택을 점검하세요(2·7·9·17번 대비).
4. 거리의 제곱합과 넓이 조건을 좌표식으로 옮기세요. 완전제곱식 정리와 공통 영역을 더해 넓이를 비교하는 방법을 연습하세요(8·16번 대비).
5. 부등식은 판별식, 정수해, 절댓값 순서로 확장하세요. 수직선에 경계를 표시하고 교집합과 끝점 포함 여부를 확인하세요(3·13·14·18·19번 대비).
6. 거리 최대와 접하는 원의 개수처럼 조건을 도형·그래프로 바꾸는 유형을 마무리하세요. 최댓값이 성립하는 이유와 교점 개수가 변하는 경계를 말로 설명해 보세요(12·15·20번 대비).