영동고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

영동고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식과 부등식의 해를 다루는 대수 문제와 좌표로 도형의 성질을 표현하는 문제가 함께 출제되었습니다.

좌표 문제에서는 공식 하나를 대입하고 끝내기보다 조건 사이의 연결을 찾는 일이 중요합니다. 삼각형의 넓이를 점과 직선 사이의 거리로 바꾸거나, 접한다는 조건을 중심 사이의 거리와 반지름의 관계로 옮겨야 합니다. 계산 전에 기준 직선과 중심을 표시하면 필요한 식을 고르기 쉽습니다.

대수 문제에서도 후보를 구한 뒤 원래 조건으로 돌아가는 과정이 필요합니다. 서로 다른 실근인지, 정수 조건을 만족하는지, 사분면에 맞는 부호인지까지 확인해야 합니다. 서술·단답형에서는 이러한 확인 근거를 계산과 함께 정리하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·2번은 내분·외분과 연립일차부등식의 기본 처리입니다. 보통 문항은 3~9번과 11번, 19·20번에 있습니다. 다만 보통 문항도 근의 분리, 서로 다른 실근의 개수, 정수해의 개수처럼 조건을 정확히 구분해야 풀 수 있습니다.

10번에서 어려움 문항이 등장한 뒤 11번은 보통이고, 12~18번은 어려움이 이어집니다. 이 구간에서는 거리의 최솟값, 원의 위치 관계, 상반방정식 등 접근을 결정하는 단계가 중요합니다. 한 문항의 계산이 길어지면 뒤의 다른 유형을 먼저 확인하는 운영이 필요합니다.

서술·단답형은 19·20번이 보통, 21·22번이 어려움입니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 후반의 부담은 문항 번호 자체보다 여러 조건을 연결하고 후보를 검증하는 과정에서 생긴다고 보는 것이 적절합니다.

출제 단원 — 원의 위치 관계와 대수 조건의 결합

원의방정식은 7·9·13·16·18·21번에 걸쳐 출제되었습니다. 평행한 접선과 좌표축에 접하는 원의 기본형에서 공통현, 넓이 조건, 여러 원의 접점과 접선으로 확장됩니다. 중심과 반지름을 먼저 구하고 거리 관계를 세우는 습관이 여러 문항에 공통으로 쓰입니다.

여러가지부등식은 해의 구간과 정수 조건을 함께 다룹니다. 5번은 근이 놓이는 위치, 11·14번은 구간 안의 정수 개수, 19번은 모든 실수에서 성립하는 조건에 초점이 있습니다. 여러가지방정식에서는 켤레근과 근과 계수의 관계에서 출발해 17번의 치환, 22번의 복소수와 정수 조건으로 연결됩니다.

평면좌표와 직선의방정식도 원 문제의 기반입니다. 10번의 무게중심, 12번의 거리 최소화, 15번의 넓이와 외분처럼 도형 성질을 좌표식으로 옮겨야 합니다. 원 단원만 따로 공부하기보다 분점·직선·거리를 함께 복습하는 편이 효율적입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 부등식·직선 비중의 변화

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 16문항에서 10문항으로 줄었고 보통은 5문항에서 10문항으로 늘었습니다. 총 문항은 23문항에서 22문항으로 줄었으며 서술·단답형은 4문항으로 같습니다. 분류의 변화로 시험 전체의 부담이 어느 정도 달라졌는지는 살펴볼 수 있지만, 실제 학생 성취를 단정할 수는 없습니다.

원의방정식은 작년 8문항에서 올해 6문항으로 줄었지만 여전히 가장 많습니다. 여러가지부등식은 3문항에서 5문항, 직선의방정식은 1문항에서 3문항으로 늘었습니다. 여러가지방정식은 5문항으로 같고 평면좌표는 4문항에서 3문항이 되었습니다. 대비할 때는 원의 비중을 유지하면서 부등식의 정수 조건과 직선의 거리 활용을 보강하세요.

작년 어려움은 초반 3·4·6번부터 나타나고 11~23번에 이어졌습니다. 올해는 10번과 12~18번, 21·22번에 분포하고 서술·단답형 앞부분에 보통 문항이 있습니다. 따라서 후반을 일괄적으로 미루기보다 전체를 훑어 접근 가능한 문항을 확보하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 표현을 바꾸는 첫 단계와 변환 뒤 조건을 되돌려 확인하는 마지막 단계가 모두 필요하다는 것입니다. 오답을 정리할 때는 계산 오류와 조건 누락을 구별해 기록하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 접근이 보이는 문제부터 확보하세요. 10번에서 막히더라도 11번을 확인하고, 12~18번의 풀이가 길어지면 19·20번의 구조를 먼저 살펴보세요. 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위 계획보다 문항별로 접근 결정과 계산에 걸리는 시간을 기록하며 조정하는 것이 좋습니다.

조건을 그림이나 짧은 메모로 남기면 재풀이 시간을 줄일 수 있습니다. 14번은 매개변수의 부호와 정수 구간의 끝점, 16번은 넓이를 만족시키는 평행선이 원에 접하는지 가로지르는지, 21번은 내접과 외접에서 중심 사이 거리를 어떻게 쓰는지 표시하세요. 서술·단답형에서는 조건을 식으로 바꾼 근거를 계산에 앞서 적어 두세요.

마지막 검토에서는 부등호와 제외 조건을 우선 살펴보세요. 5번의 서로 다른 두 근, 8·20번의 사분면 경계, 17번의 치환 후 실근 조건이 대표적입니다. 12번은 최솟값을 만드는 점의 존재, 13번은 두 원의 실제 교점 존재, 22번은 자연수 조건과 경우별 중복까지 확인해야 풀이가 완성됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 내분·외분 공식을 선분 그림과 연결해 복습하세요. 사분면 조건을 좌표의 부호로 바꾸는 연습까지 이어 가세요(1·8번 대비).
2. 이차함수의 그래프와 판별식으로 근의 위치, 항상 성립하는 부등식, 정수해의 개수를 정리하세요. 끝점의 포함 여부를 표시하세요(2·5·11·14·19번 대비).
3. 인수정리와 켤레근, 근과 계수의 관계를 함께 연습하세요. 해의 쌍과 서로 다른 실근 개수를 구별하고 치환 뒤 실근 조건을 복원하세요(3·4·6·17번 대비).
4. 직선의 방정식과 점·직선 사이의 거리를 넓이 및 최소화에 적용하세요. 수선의 발과 등호 성립 조건도 함께 설명해 보세요(10·12·15·20번 대비).
5. 원의 중심과 반지름을 먼저 표시하고 접선·공통현·넓이 조건을 거리 관계로 바꾸세요. 접하는 경우와 교차하는 경우를 나누어 보세요(7·9·13·16·18·21번 대비).
6. 복소수의 켤레와 허근의 관계로 식을 단순화한 뒤 실수 조건과 정수 조건을 차례로 적용하세요. 경우마다 자연수 후보를 검증하세요(22번 대비).