불곡고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

불곡고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

불곡고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 범위는 여러가지부등식, 원의방정식, 평면좌표, 직선의방정식, 이차함수입니다. 부등식의 해석과 좌표평면 위 도형의 성질이 함께 등장합니다.

도형 문제는 공식을 대입하는 단계에서 끝나지 않습니다. 각의 이등분선을 내분비로 바꾸거나, 넓이를 밑변과 높이로 나타내거나, 접한다는 조건을 거리 또는 판별식으로 표현해야 합니다. 무엇을 미지수로 놓을지 먼저 정하면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다.

서술·단답형에서는 근이 구간 안에 놓이는 조건, 모든 실수에서 부등식이 성립하는 조건, 같은 거리에 있는 점의 자취를 다룹니다. 객관식의 계산 속도와 함께 조건을 빠짐없이 쓰는 연습이 필요합니다. 특히 결과를 얻은 다음 처음 조건으로 되돌아가는 검토를 풀이의 일부로 익히세요.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 결합

쉬움에 해당하는 1·2번은 외분점과 평행한 직선의 기울기·절편을 확인합니다. 초반 보통 문항에서는 절댓값의 구간 분류와 원의 중심 결정, 접선 조건 등이 이어집니다. 익숙한 공식도 점의 순서와 부호를 잘못 잡으면 계산 전체가 바뀌므로 짧은 그림을 함께 그려 보세요.

9번과 11번 사이에는 보통으로 분류된 10번이 있고, 12번도 보통입니다. 번호가 뒤로 갈수록 일률적으로 어려워지는 구조로 보기는 어렵습니다. 반면 13~16번은 어려움 문항이 이어져, 하나에 오래 머무르면 뒤의 서술·단답형을 검토할 시간이 줄어들 수 있습니다.

서술·단답형 17~19번은 자동 분류 기준 모두 보통입니다. 그렇다고 답만 빠르게 쓰고 끝낼 유형은 아닙니다. 근의 위치를 결정하는 조건이나 등거리 조건을 식으로 만드는 이유가 중요하며, 이 분류가 실제 학생의 체감 난도를 그대로 뜻하는 것은 아닙니다.

출제 단원 — 부등식과 원, 좌표 도형의 연결

여러가지부등식은 절댓값 처리에서 시작해 해집합으로 함수식을 복원하는 유형, 항상 성립하는 부등식, 근의 위치로 확장됩니다. 3번의 구간별 식 정리와 10번의 경계 해석을 익힌 뒤 11·17·18번의 매개변수 조건을 연습하면 개념 사이의 연결이 보입니다.

원의방정식에서는 중심이 놓이는 직선, 현의 수직이등분선, 원 밖에서 그은 접선, 접점에서의 수직 관계가 고르게 쓰입니다. 16번은 원의 성질에 삼각형의 넓이와 교점 개수까지 결합합니다. 중심과 반지름을 먼저 표시하고 어떤 거리가 고정되는지 찾는 습관이 도움이 됩니다.

평면좌표와 직선의방정식에서도 도형 해석이 중요합니다. 14번은 외분점의 위치와 넓이비, 15번은 이등변삼각형의 경우 분류, 13번은 거리의 최적화를 다룹니다. 이차함수로 분류된 12번도 접선과 수직인 직선을 연결하므로 단원별 공식을 따로 암기하는 데서 그치지 마세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리의 구조를 근거로 골라 본 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인한 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 중간 계산의 결과를 바로 결론으로 삼을 수 없으므로, 후보를 만든 조건과 최종적으로 확인할 조건을 구분해서 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 구조가 보이는 문항을 먼저 해결하세요. 9번이나 11번에서 해석이 길어지면 표시하고 다음 문항을 살피는 연습이 좋습니다. 특히 13~16번을 모두 끝낸 뒤에만 서술·단답형을 풀겠다고 정해 두면, 비교적 익숙한 19번의 풀이 기회를 놓칠 수 있습니다.

서술·단답형은 계산에 앞서 조건을 짧게 나열하세요. 17번은 실근의 존재, 구간 양 끝에서의 함숫값, 축의 위치를 함께 확인해야 합니다. 18번은 엄격한 부등호와 등호를 허용하는 부등호를 구별하고, 19번은 중점과 수직인 방향을 모두 반영해야 합니다. 연습할 때 조건 설정과 계산에 걸린 시간을 나누어 기록해 보세요.

마지막 검토에서는 부호와 제외 조건을 우선 살피세요. 1·14번은 외분점이 놓이는 방향, 8번은 사분면과 좌표의 부호, 9번은 길이의 절댓값이 중요합니다. 15번은 삼각형이 실제로 성립하는지, 16번은 접하는 경우뿐 아니라 남은 직선과 원의 만남까지 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 내분·외분과 직선의 기본식을 복습하세요. 점의 순서를 그림에 표시하고 중점, 기울기, 절편을 정확히 연결하세요(1·2·6·19번 대비).
2. 원의 중심을 결정하는 조건과 접선을 묶어 연습하세요. 같은 반지름, 현의 수직이등분선, 중심과 직선 사이의 거리를 상황에 맞게 고르세요(4·5·7·8번 대비).
3. 절댓값과 이차부등식은 경계를 먼저 표시하세요. 구간마다 식을 바꾸고 해집합의 끝점이 원래 조건에 포함되는지 확인하세요(3·10번 대비).
4. 항상 성립하는 부등식과 근의 위치를 구별하세요. 계수의 부호, 판별식, 축, 구간 끝의 함숫값 중 필요한 조건을 설명하는 연습을 하세요(11·17·18번 대비).
5. 거리와 넓이를 함수로 표현하세요. 밑변과 높이의 선택, 절댓값의 부호, 최적화할 변수의 순서를 먼저 정하세요(9·12·13번 대비).
6. 도형의 경우 분류를 연습하세요. 외분점의 위치를 그린 뒤 넓이비를 찾고, 등변 조건이나 교점 개수의 후보를 얻으면 원래 도형에서 검증하세요(14·15·16번 대비).