영동고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

영동고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 대수 영역의 근과 부등식 해석에 좌표와 도형의 성질이 함께 출제된 시험입니다.

앞부분에서는 중점, 기울기, 원의 접선 같은 기본 개념을 확인합니다. 이후에는 같은 공식이 더 복잡한 조건 안에서 쓰입니다. 거리의 비로 도형을 알아내거나 접하는 원의 개수를 교점의 개수로 바꾸는 등, 문제의 표현을 다른 수학적 조건으로 옮기는 능력이 중요합니다.

자동 분류 기준 어려움이 넓게 분포하지만 모든 문항의 풀이가 길다는 뜻은 아닙니다. 근으로 표현된 곱을 다항식의 대입값으로 읽는 문항처럼 구조를 찾으면 계산을 줄일 수 있는 경우도 있습니다. 식을 전개하기 전에 목표가 길이인지, 넓이인지, 근이나 정수 해의 개수인지부터 구분하세요.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1~4번은 중점과 기울기, 원의 접선, 원 위의 점까지의 최대 거리를 다룹니다. 공식의 적용 대상과 부호를 정확히 읽는 것이 우선입니다. 보통인 5·8·12번은 켤레근이나 마름모의 성질, 원의 중심을 지나는 직선처럼 풀이의 출발점을 찾아야 합니다.

6·7번에서 어려움 문항이 시작되지만 8번과 12번은 보통입니다. 한 문항에서 막힌 뒤 번호 순서대로 모두 어렵다고 생각하면 풀 수 있는 문제를 놓칠 수 있습니다. 13~24번은 자동 분류 기준 모두 어려움이므로 후반을 위해 조건을 정리하고 검산할 여유를 남기는 운영이 필요합니다.

이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하지 않습니다. 9번은 근을 직접 구하려는 선택이 시간을 늘릴 수 있고, 16번은 계산보다 교점 수를 해석하는 단계가 중요합니다. 연습 후에는 계산 실수와 접근법을 찾지 못한 경우를 구별해 복습하세요.

출제 단원 — 원의방정식과 좌표 해석의 연결

원의방정식은 기본 접선에서 출발해 포물선과의 교점, 중심이 움직이는 원, 넓이 조건에 맞는 점의 개수와 도형의 경계까지 이어집니다. 원의 식을 구하는 연습만으로는 부족합니다. 중심과 반지름을 확인한 다음, 주어진 조건이 접선·현·교점 중 무엇을 결정하는지 설명하는 연습이 필요합니다.

평면좌표의 10번은 거리의 비를 원으로 표현하고, 직선의방정식의 18번은 종이접기를 수직이등분선으로 바꿉니다. 단원 이름은 달라도 거리와 수직 관계를 좌표로 옮긴다는 점이 연결됩니다. 그림에서 얻은 관계와 식으로 확인한 관계를 나란히 적어 보면 계산의 목적이 선명해집니다.

여러가지방정식에서는 켤레근, 인수정리, 근의 위치 조건을 함께 준비해야 합니다. 여러가지부등식은 자동 분류 기준 모두 어려움으로, 절댓값의 구간 분류와 정수 해의 경계 처리가 중요합니다. 개수 조건을 만족하는지 확인할 때는 등호가 포함되는 끝점을 별도로 표시하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건의 연결 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 세우는 일과 그 식이 원래 상황을 정확히 나타내는지 확인하는 일이 모두 필요합니다. 풀이를 복습할 때 계산 결과보다 변수의 의미와 경계 조건을 먼저 말해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형인 1~4번을 정확하게 처리하고, 6·7번에서 풀이가 길어지면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하세요. 8번과 12번처럼 중간에 배치된 보통 문항을 확보하는 것이 중요합니다. 후반은 접근이 바로 보이는 문항부터 풀되, 남겨 둔 번호를 따로 기록하세요.

22번은 서술·단답형이고 그 뒤에 23·24번 객관식이 남아 있습니다. 22번에만 시간을 쓰지 않도록 전체 구성을 먼저 확인하세요. 이 문항에서는 판별식만 적고 끝내지 말고 축의 위치와 구간 끝의 부호 조건을 함께 정리해야 후보를 정확히 걸러 낼 수 있습니다.

마지막 검토는 예외 조건에 집중하세요. 6번의 직선 일치와 후보 중복, 11번의 수직 접선, 13·21번의 정수 경계, 20번의 근 중복을 확인할 만합니다. 18·24번에서는 점이 선분 안에 있는지와 수선의 발이 바깥에 있는지를 그림에 표시해 길이 관계를 다시 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 중점·외분점과 기울기 공식을 복습하세요. 공식을 쓸 때 두 끝점의 순서와 부호를 함께 확인하세요(1·2·7번 대비).
2. 접선과 점·직선 사이의 거리를 묶어 연습하세요. 수직 접선과 원의 중심을 지나는 이등분선도 확인하세요(3·4·11·12번 대비).
3. 인수정리와 켤레근으로 식을 간단히 하세요. 근을 직접 구하기 전에 대입이나 거듭제곱의 주기로 계산을 줄일 수 있는지 보세요(5·9·15·20번 대비).
4. 절댓값을 구간별로 풀고 정수 해를 세는 연습을 하세요. 부호가 바뀌는 점과 등호가 포함되는 끝점을 따로 표시하세요(13·14·21번 대비).
5. 판별식과 축, 구간 끝의 함숫값을 함께 사용하세요. 방정식의 실근 개수와 도형의 교점 개수를 연결해 설명해 보세요(16·17·19·22번 대비).
6. 종이접기·자취·움직이는 도형을 좌표로 표현하세요. 수직이등분선과 접선으로 경계를 찾은 뒤 거리와 넓이를 계산하세요(10·18·23·24번 대비).