잠신고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

잠신고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 여러가지방정식, 여러가지부등식입니다. 좌표를 이용한 도형 해석과 방정식·부등식의 조건 판단을 함께 준비해야 합니다.

도형 문항에서는 기울기나 거리 공식을 아는 데서 한 걸음 더 나아가야 합니다. 넓이를 점과 직선 사이의 거리로 바꾸거나, 정사각형의 배치를 평행선 사이의 거리로 읽는 방식이 필요합니다. 복잡한 그림도 기준이 되는 직선과 길이를 정하면 식의 수를 줄일 수 있습니다.

대수 문항은 조건의 적용 범위가 중요합니다. 모든 실수에 대해 성립하는 부등식과 특정한 정수의 개수를 묻는 조건을 구별하고, 서로 다른 실근을 다룰 때는 중복을 제거해야 합니다. 서술·단답형에 대비할 때도 계산 결과만 적기보다 경우를 나누는 근거를 남기세요.

난이도 분포 — 중반부터 등장하는 조건 결합

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번에 모여 있습니다. 두 점 사이의 거리, 직선의 방정식, 절댓값 부등식처럼 기본 개념을 확인하는 구간입니다. 5·6번에서는 활용 부등식과 접선으로 넘어가므로, 앞부분에서 부호와 조건을 정확히 처리하며 풀이 흐름을 잡는 것이 좋습니다.

7~9번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 그러나 10·12·16번은 보통으로 분류되어 있으므로 번호가 커질수록 계속 어려워진다고 생각하면 안 됩니다. 넓이 조건이나 복합 도형에서 출발점을 찾지 못했다면 표시하고 다음 문항을 살펴보세요.

서술·단답형의 18·19번은 보통, 20~23번은 어려움으로 분류되어 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하지 않습니다. 후반에서는 경우 분류와 좌표 설정에 시간이 들 수 있으므로, 객관식을 모두 끝낸 뒤에야 서술·단답형을 확인하는 방식은 피하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 직선과 원에 집중된 좌표 해석

직선의방정식은 기본적인 직선 결정에서 넓이 분할, 정사각형 배치, 이등변삼각형 조건으로 확장됩니다. 8·13·15·17·23번에서는 기울기 계산에 앞서 어떤 선분이 평행하거나 수직인지, 어떤 길이를 비교해야 하는지 판단해야 합니다.

원의방정식은 접선과 원·직선의 위치 관계가 반복됩니다. 6·19번의 중심과 직선 사이 거리 비교를 기본으로 익힌 뒤, 7번의 넓이 범위와 점의 개수, 9·22번의 여러 직선에 접하는 원으로 확장하세요. 접한다는 조건을 거리로 표현하는 능력이 여러 문항을 연결합니다.

나머지 단원도 단순 계산으로만 끝나지 않습니다. 평면좌표의 12·21번은 무게중심과 거리 관계를 이용하며, 여러가지방정식의 11·20번은 거듭제곱의 반복 또는 실근의 구별을 요구합니다. 여러가지부등식의 16번은 항상 성립하는 조건을 정수 개수 조건과 연결합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 원 중심에서 직선과 원의 공동 중심으로

작년과 올해 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항이 늘고 쉬움과 보통 문항은 줄었습니다. 총 문항과 서술·단답형 문항도 늘었으므로, 기본형을 처리하는 속도와 긴 조건을 정리하는 능력을 함께 점검할 필요가 있습니다.

작년에는 원의방정식이 가장 많았고, 올해는 직선의방정식이 원의방정식과 같은 비중입니다. 공통 단원인 직선의방정식은 작년 3문항에서 올해 7문항으로 늘었고, 원의방정식은 9문항에서 7문항으로 줄었습니다. 원의 접선 연습과 함께 직선의 거리·넓이 활용을 충분히 다루세요.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 객관식 5번부터 등장했고 서술·단답형에서는 19·21·22번이었습니다. 올해는 객관식 7번부터 등장하고 서술·단답형 20~23번에 이어집니다. 다음 시험을 준비할 때는 특정 번호를 난도의 기준으로 삼기보다 전체를 훑고 접근 가능한 문항을 골라 푸는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전의 관계 정리와 계산 후의 예외 검사가 필요합니다. 그림에는 수직·평행 관계를, 식 옆에는 경우를 나눈 이유를 남기는 방식으로 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 관계를 정확히 처리하고, 7~9번에서 식을 세우는 방향이 보이지 않으면 표시하고 넘어가세요. 이후의 10·12·16번과 서술·단답형 18·19번도 확인해야 합니다. 연습에서는 막힌 이유가 개념 부족인지 좌표 설정의 지연인지 구별해 기록하세요.

서술·단답형에 들어가기 전에 풀이 공간에 핵심 조건을 짧게 적으세요. 18번은 이차항 소멸 여부, 20번은 서로 다른 실근, 21번은 증명한 등식과 무게중심의 비율이 중요합니다. 긴 전개보다 먼저 경우의 기준이나 도형의 대응 관계를 남기면 중간에 풀이를 재개하기도 쉽습니다.

마지막 점검에서는 계산보다 누락된 조건을 확인하세요. 7번은 거리 범위의 끝에서 점의 개수가 달라지고, 15번은 삼각형이 성립하지 않는 경우를 제외해야 합니다. 16번의 부등호, 17번의 외분과 점의 범위, 23번의 양수 조건과 절댓값 처리도 다시 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리 공식과 직선 결정부터 복습하세요. 두 점, 교점, 수직 조건을 보고 필요한 정보를 바로 고르는 연습을 하세요(1·2·4번 대비).
2. 절댓값과 이차부등식을 구간으로 나타내세요. 활용 문제와 항상 성립하는 조건에서는 변수의 의미와 경계 포함 여부를 적으세요(3·5·16번 대비).
3. 원의 중심과 직선 사이 거리를 반복해 연습하세요. 기본 접선에서 여러 직선에 접하는 원과 접점의 길이 관계로 확장하세요(6·9·10·19·22번 대비).
4. 넓이와 길이비를 좌표식으로 바꾸세요. 밑변과 높이, 평행선 사이 거리, 같은 직선 위의 좌표 차를 구별하세요(7·8·13·15·17·23번 대비).
5. 방정식은 인수분해 뒤 예외를 점검하세요. 허근의 거듭제곱 주기, 차수가 낮아지는 경우, 서로 다른 실근의 중복을 각각 정리하세요(11·18·20번 대비).
6. 무게중심과 중선의 관계를 좌표 증명과 연결하세요. 교점의 좌표를 모두 구하는 대신 근의 합이나 거리 제곱의 관계를 쓰는 연습을 하세요(12·14·21번 대비).