송림고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

송림고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

송림고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 여러가지방정식, 이차함수입니다. 다항식의 연산과 나머지에서 방정식의 근, 함수의 접선과 최대·최소까지 이어집니다.

초반에는 계수 비교, 복소수의 사칙연산, 근과 계수의 관계처럼 기본 개념을 직접 적용하는 문항이 나옵니다. 중반에는 매개변수와 관계없이 성립하는 조건, 도형의 닮음, 문장으로 주어진 분배 상황을 식으로 바꾸어야 합니다. 같은 공식을 알아도 어떤 관계에 적용할지 판단하는 과정이 필요합니다.

후반에는 풀이의 여러 단계를 연결해야 합니다. 특히 서술·단답형에서는 음수의 제곱근을 처리한 근거, 치환한 변수의 부호, 나머지의 차수 등을 분명하게 남기는 연습이 좋습니다. 객관식을 모두 끝내고 넘어가기보다 서술·단답형의 접근 가능한 문항도 미리 확인하세요.

난이도 분포 — 보통 문항을 확보하고 후반에 시간 남기기

쉬움은 1~5번과 9번입니다. 계수의 합을 수치 대입으로 구하거나 변환된 근의 곱을 원래 근의 합과 곱으로 표현하는 등, 개념을 정확히 알면 계산을 줄일 수 있습니다. 9번에서는 다항식의 입력이 이동되어 있으므로 대입한 값과 실제 함수의 입력을 구별해야 합니다.

보통 구간에서도 출발 조건을 잘못 해석하면 풀이가 길어집니다. 6번은 모든 매개변수에 대한 중근 조건, 8번은 해가 한 쌍인 조건, 12번은 접선 조건을 판별식과 연결합니다. 13·14번은 도형 관계를 먼저 정리해야 하므로 대수 계산만 반복하는 공부로는 대비가 부족합니다.

어려움은 17번과 20~22번입니다. 자동 분류 기준의 난이도이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수는 없습니다. 다만 객관식 끝의 도형 문제와 서술·단답형 끝의 다단계 문제에 시간을 남겨야 한다는 점은 배치에서 확인할 수 있습니다.

출제 단원 — 항등식과 나머지 조건의 연결

항등식은 기본 계수 비교와 수치 대입에서 시작해 여러 나눗셈 조건을 결합하는 단계까지 이어집니다. 15번은 나머지를 차수에 맞게 두고 함수값 조건을 연결하며, 20번은 고차항을 낮은 차수로 줄입니다. 22번은 나누어떨어짐과 최고차항의 정보를 함께 사용해야 합니다.

이차방정식에서는 근과 계수, 판별식, 활용 문제가 함께 나옵니다. 16번은 나눠 준 양과 회수한 양을 구별해 방정식을 세우고, 17번은 도형의 길이 관계를 해석해야 합니다. 이차함수의 12·13번도 접선이나 도형 넓이를 대수식으로 옮겨야 하므로 상황을 식으로 번역하는 연습이 중요합니다.

복소수와 다항식에서는 계산의 순서와 묶는 방법을 확인합니다. 18번의 음수의 제곱근은 부호에 주의하고, 19번은 공통된 합을 찾아 치환하세요. 여러가지방정식의 21번은 인수분해 후 허근이 만족하는 관계를 활용하므로 복소수 단원의 계산과도 연결됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 보통 구간은 확대

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 문항 수와 서술·단답형의 위치가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 4문항으로 줄고 보통은 9문항에서 12문항으로 늘었습니다. 이는 분류상 구성의 변화이며, 실제 응시 결과를 바탕으로 시험 전체가 쉬워졌다고 단정하는 근거는 아닙니다.

작년에는 복소수와 이차함수가 각각 5문항으로 가장 많았으나 올해는 항등식이 6문항으로 가장 많습니다. 항등식은 작년 4문항에서 늘었고 이차방정식도 1문항에서 4문항으로 늘었습니다. 다음 시험 준비에서는 나머지 조건의 표현과 근·계수 관계를 충분히 연습하되, 복소수와 함수의 기본형도 함께 유지하세요.

작년의 어려움은 객관식 15·16·17번과 서술·단답형 20·21·22번이었고, 올해는 17·20·21·22번입니다. 서술·단답형 후반의 어려움 배치는 같지만 객관식의 어려움 구간은 줄었습니다. 올해의 15·16번처럼 보통으로 분류된 조건 연결 문제를 안정적으로 풀고 후반 풀이 시간을 확보하는 연습이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 난도 순위를 확정한 것이 아니라 풀이의 연결 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 첫 계산보다 표현의 선택이 중요합니다. 도형은 길이 관계로, 나눗셈은 낮은 차수의 식으로, 허근은 반복 관계로 바꾸는 이유를 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 계수 비교와 기본 계산 문항을 정확히 처리하고, 도형 해석이 길어지는 문항은 표시해 두세요. 17번에 오래 머물기 전에 18·19번의 접근 가능성을 확인하는 운영이 좋습니다. 연습에서는 전체 제한 시간 안에 서술·단답형을 확인할 시점을 정하고 실제로 지켰는지 기록하세요.

서술·단답형은 계산에 앞서 핵심 근거를 한 줄씩 적어 보세요. 18번은 음수의 제곱근을 바꾼 표현, 19번은 치환과 양수 조건, 20번은 차수를 낮출 수 있는 인수 관계가 출발점입니다. 22번은 나누어떨어짐에 차수와 최고차항의 정보를 함께 적용해야 식이 결정됩니다.

마지막 검토에서는 새로 전개하기보다 조건을 대조하세요. 5·13번은 꼭짓점과 변수 범위, 6·8·12번은 중근 조건, 16·19번은 근을 선택하는 부호 조건이 중요합니다. 21번은 반복 조건이 맞더라도 자연수 범위의 처음과 끝을 빠뜨리지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 계수 비교와 수치 대입을 구분해 연습하세요. 전개 전에 어떤 항이나 함수값만 필요한지 적어 보세요(1·3·9번 대비).
2. 나머지의 차수와 나누어떨어짐의 표현을 정리하세요. 기본 나머지정리에서 여러 조건의 결합과 고차항의 차수 낮추기로 확장하세요(15·20·22번 대비).
3. 복소수의 사칙연산과 음수의 제곱근을 복습하세요. 실수부·허수부를 나누기 전에 근호와 분모의 부호를 확인하세요(2·10·18번 대비).
4. 근과 계수, 판별식, 인수정리를 묶어 연습하세요. 중근 조건을 상황에 맞게 해석하고 허근의 거듭제곱 관계까지 이어 보세요(4·6·7·8·12·21번 대비).
5. 도형에서 닮음과 수선을 이용해 길이를 같은 변수로 표현하세요. 이후 넓이의 이차식이나 방정식으로 옮기고 변수 범위를 검토하세요(5·13·14·17번 대비).
6. 곱셈공식의 변형과 문장제의 식 세우기를 연습하세요. 공통부분을 치환한 이유와 구한 근을 선택하는 조건까지 서술하세요(11·16·19번 대비).